Question

已知：如图，二次函数的图象是由y=-x²向右平移1个单位，再向上平移4个单位所得到，这时图象与x轴的交点为A、B（A在B的左边），与y轴交于点C．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P是抛物线对称轴l上一动点，求使AP+CP最小的点P的坐标．

Answer 1

考点：二次函数图象与几何变换,轴对称-最短路线问题

专题：计算题

分析：（1）根据抛物线平移的规律（左加右减，上加下减）易得平移后抛物线的解析式y=-（x-1）²+4；
（2）先确定抛物线与坐标轴的交点A、B和C点坐标，连结BC交直线x=1于点P，利用对称的性质和两点之间线段最短可得此时AP+CP的值最小，再利用待定系数法求BC的解析式，然后求直线BC和直线x=1的交点即可得到P点坐标．

解答：解：（1）抛物线y=-x²向右平移1个单位再向上平移4个单位所得抛物线解析式为y=-（x-1）²+4；
（2）当y=0时，-（x-1）²+4=0，解得x₁=-1，x₂=3，则A（-1，0）、B（3，0），
当x=0时，y=-（x-1）²+4=-1+4=3，则C（0，3），
抛物线y=-（x-1）²+4的对称轴为直线x=1，点A与点B关于直线x=1对称，
连结BC交直线x=1于点P，如图，则PA=PB，
∴PA+PC=PB+PC=BC，
∴此时AP+CP的值最小，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B（3，0）、C（0，3）分别代入得

3k+b=0 b=3

，解得

k=-1 b=3

，
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
当x=1时，y=-x+3=2，
∴P点坐标为（1，2）．

点评：本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．也考查了利用对称解决最短路线问题．