Question

如图，直线y=2x-2分别交x轴、y轴于B、A两点，交双曲线y=

k

x

（x＞0）于点C，且S_△AOC=8．
（1）求双曲线解析式；
（2）在C点右侧的双曲线上是否存在点P，使∠PBC=45°？若存在，求P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：

分析：（1）先由直线y=2x-2分别交x轴、y轴于B、A两点，得出B（1，0），A（0，-2）．再根据S_△AOC=8，求出点C横坐标是8，代入y=2x-2求出纵坐标为14，然后将C点坐标代入y=

k

x

，利用待定系数法即可求出双曲线的解析式为y=

112

x

；
（2）在△OAB内部作∠ABD=45°，交y轴于点D，延长DB交双曲线于P．先在直角△OAB中，求出tan∠OBA=

OA

OB

=2，根据两角差的正切公式得出tan∠OBD=tan（∠OBA-∠ABD）=

tan∠OBA-tan∠ABD

1+tan∠OBA•tan∠ABD

=

2-1

1+2×1

=

1

3

，那么OD=

1

3

OB=

1

3

．再利用待定系数法求出直线BD的解析式为y=

1

3

x-

1

3

．将y=

1

3

x-

1

3

代入y=

112

x

，求出x的值，如果x的值大于C点横坐标的值，那么在C点右侧的双曲线上存在点P，否则不存在．

解答：解：（1）∵直线y=2x-2分别交x轴、y轴于B、A两点，
∴B（1，0），A（0，-2）．
设C（a，b），
∵S_△AOC=8，
∴

1

2

×2•a=8，
解得a=8，
当a=8时，b=2×8-2=14，
∴C（8，14），
∴k=8×14=112，
∴双曲线的解析式为y=

112

x

；

（2）如图，在△OAB内部作∠ABD=45°，交y轴于点D，延长DB交双曲线于P．
∵在直角△OAB中，∠AOB=90°，OA=2，OB=1，
∴tan∠OBA=

OA

OB

=2，
∴tan∠OBD=tan（∠OBA-∠ABD）=

tan∠OBA-tan∠ABD

1+tan∠OBA•tan∠ABD

=

2-1

1+2×1

=

1

3

，
∴

OD

OB

=

1

3

，
∴OD=

1

3

OB=

1

3

．
设直线BD的解析式为y=mx+n，
∵B（1，0），D（0，-

1

3

），
∴

m+n=0 n=- 1 3

，
解得

m= 1 3 n=- 1 3

，
∴直线BD的解析式为y=

1

3

x-

1

3

．
将y=

1

3

x-

1

3

代入y=

112

x

，得

1

3

x-

1

3

=

112

x

，
整理得，x²-x-336=0，
解得x=

1± 1345

2

，
∵

1- 1345

2

＜8，不合题意舍去，

1+ 1345

2

＞8，符合题意，
当x=

1+ 1345

2

时，y=

1

3

×

1+ 1345

2

-

1

3

=

-1+ 1345

6

，
∴在C点右侧的双曲线上存在点P，此时P点坐标为（

1+ 1345

2

，

-1+ 1345

6

）．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．同时考查了利用待定系数法求反比例函数、一次函数的解析式，三角形的面积，锐角三角函数的定义，两角差的正切公式，本题有一定难度．准确作出辅助线利用数形结合是解决（2）的关键．