Question

【题目】如图所示, 中，∠BAC=90°，∠C=30°，BC=2，⊙O是△ABC的外接圆，D是CB延长线上一点，且BD=1，连接DA，点P是射线DA上的动点。

（1）求证DA是⊙O的切线；
（2）DP的长度为多少时，∠BPC的度数最大，最大度数是多少？请说明理由。
（3）点P运动的过程中，（PB+PC）的值能否达到最小，若能，求出这个最小值，若不能，说明理由.

Answer 1

【答案】
（1）

证明：连接AO，易知：

△ABO是等边三角形，AB=BD=1;

∴∠ADC=∠DAC=∠ABO=30°,而∠AOC=60°;

∴∠DAO=90°

∴DA是⊙o的切线；

（2）

解：当点P运动到A处时，即DP=DA=时，∠BPC的度数达到最大，最大值为90°.理由如下：

若点P不在A处时，不妨设点P在DA的延长线上，连接BP，与⊙o交于一点，记为点E，连接CE，

∴∠BPC＜∠BEC=∠BAC=90°;

（3）

解:作点C关于射线DA的对称点C′，则BP+PC=BP+PC′,当点C′,P,B三点共线时，（PB+PC）的值达到最小，最小为BC.

过点作DC的垂线，垂足记为点H，连接DC′;

在RT△DCP中，∠PDC=30°;

∴△DCC′为等边三角形，

∴H为DC的中点，

∴BH=DH-DB=CD-DB=-1=;

∴C′H=DH=;

由勾股定理求出：BC′=;

∴（PB+PC）的最小值为；

【解析】（1）连接AO，易知：△ABO是等边三角形，通过计算可以得出∠DAO=90°，所以DA是⊙o的切线；
（2）当点P运动到A处时，即DP=DA= 时，∠BPC的度数达到最大，最大值为90°.理由如下：若点P不在A处时，不妨设点P在DA的延长线上，连接BP，与⊙o交于一点，记为点E，连接CE，所以∠BPC＜∠BEC=∠BAC=90°;
（3）作点C关于射线DA的对称点C′，则BP+PC=BP+PC′,当点C′,P,B三点共线时，（PB+PC）的值达到最小，最小为BC.过点作DC的垂线，垂足记为点H，连接DC；通过等边三角形的性质和勾股定理即可求出。
【考点精析】关于本题考查的两点间的距离和等边三角形的性质，需要了解同轴两点求距离，大减小数就为之．与轴等距两个点，间距求法亦如此．平面任意两个点，横纵标差先求值．差方相加开平方，距离公式要牢记；等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°才能得出正确答案．