Question

【题目】如图，已知四边形ABCD是平行四边形，小慧同学利用直尺和规进行了如下操作：①连接AC，分别以点A、C为圆心，以大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点P、Q；②作直线PQ，分别交BC、AC、AD于点E、O、F，连接AE、CF．根据操作结果，解答下列问题：

（1）线段AF与CF的数量关系是 .

（2）若∠BAD=120°，AE平分∠BAD，AB=8，求四边形AECF的面积．

Answer 1

【答案】（1）FA=FC；（2）

【解析】

（1）根据基本作图和线段垂直平分线的性质进行判断；

（2））由AE平分∠BAD得到∠BAE=∠DAE=∠BAD=60°，利用平行四边形的性质得AD∥BC，则∠AEB=∠DAE=60°，所以△ABE为等边三角形，则AE=AB=8，∠B=60°，于是可计算出AC=AB=8，再证明△AEF为等边三角形得到EF=8，然后根据三角形面积公式利用四边形AECF的面积=EF×AC进行计算．

解：（1）由作法得EF垂直平分AC，

所以FA=FC．

故答案为FA=FC；

（2）∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE=∠DAE=∠BAD=60°，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠AEB=∠DAE=60°，

∴△ABE为等边三角形，

∴AE=AB=8，∠B=60°，

∵EA=EC，

∴∠EAC=∠ECA=∠AEB=30°，

∴AC=AB=8，

∵∠CAD=60°-30°=30°，

即OA平分∠EAF，

∴AF=AE=8，

∴△AEF为等边三角形，

∴EF=8，

∴四边形AECF的面积=．