【题目】如图,已知矩形ABCD的一条边AD=8,将矩形ABCD折叠,使得顶点B落在CD边上的点P处,折痕与BC交于点O.
(1)求证:△OCP∽△PDA;
(2)若PO:PA=1:2,则边AB的长是多少?
【答案】(1)证明见解析;(2)边AB的长为10.
【解析】试题分析:(1)利用折叠和矩形的性质可得到∠C=∠D,∠APD=∠POC,可证得相似;
(2)根据相似三角形的性质求出PC长以及AP与OP的关系,然后在Rt△PCO中运用勾股定理求出OP长,从而求出AB长.
试题解析:解:(1)如图.∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC,DC=AB,∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°.由折叠可得:AP=AB,PO=BO,∠PAO=∠BAO,∠APO=∠B,∴∠APO=90°,∴∠APD=90°﹣∠CPO=∠POC.∵∠D=∠C,∠APD=∠POC,∴△OCP∽△PDA.
(2)∵PO:PA=1:2,∴===,∴PD=2OC,PA=2OP,DA=2CP.∵AD=8,∴CP=4,BC=8.设OP=x,则OB=x,CO=8﹣x.
在Rt△PCO中,∵∠C=90°,CP=4,OP=x,CO=8﹣x,∴x2=(8﹣x)2+42,解得:x=5,∴AB=AP=2OP=10,∴边AB的长为10.
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【题目】嘉琪同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的,她先用尺规作出了如图所示的□ABCD,并写出了如下尚不完整的已知和求证.
已知:如图,在四边形ABCD中,BC=AD,AB= .
求证:四边形ABCD是 四边形.
(1)补全已知和求证(在方框中填空);
(2)嘉琪同学想利用三角形全等,依据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”来证明.请你按她的想法完成证明过程.
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【题目】在求两位数的平方时,可以用“列竖式”的方法进行速算,求解过程如图1所示.
(1)仿照图1,在图2中补全的“竖式”;
(2)仿照图1,用“列竖式”的方法计算一个十位数字是的两位数的平方,过程部分如图3所示,则这个两位数为 (用含的代数式表示).
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【题目】已知:M=3a2+4ab -5a-6,N=a2-2ab-4
(1)化简:5M-(3N + 4M),结果用含a、b的式子表示.
(2)若式子5M-(3N + 4M)的值与字母a的取值无关,求b4+M-N-的值.
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【题目】星光厨具店购进电饭煲和电压锅两种电器进行销售其进价与售价如表
进价(元/台) | 售价(元/台) | |
电饭煲 | 200 | 250 |
电压锅 | 160 | 200 |
(1)一季度,厨具店购进这两种电器共30台,用去了5600元,并且全部售完,问厨具店在该买卖中赚了多少钱?
(2)为了满足市场需求,二季度厨具店决定采购电饭煲和电压锅共50台,且电饭煲的数量不大于电压锅的,请你通过计算判断,如何进货厨具店赚钱最多?最大利润是多少?
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【题目】如图,在□ABCD中,AD=2AB,F是AD的中点,作CE⊥AB,垂足E在线段AB上,连接EF、CF,则下列结论:(1) ∠DCF=∠BCD;(2)EF=CF;(3)S△CDF=S△CEF;(4)∠DFE=3∠AEF.其中正确结论的个数是( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
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【题目】在ABCD中,点B关于AD的对称点为B′,连接AB′,CB′,CB′交AD于F点.
(1)如图1,∠ABC=90°,求证:F为CB′的中点;
(2)小宇通过观察、实验、提出猜想:如图2,在点B绕点A旋转的过程中,点F始终为CB′的中点.小宇把这个猜想与同学们进行交流,通过讨论,形成了证明该猜想的几种想法:
想法1:过点B′作B′G∥CD交AD于G点,只需证三角形全等;
想法2:连接BB′交AD于H点,只需证H为BB′的中点;
想法3:连接BB′,BF,只需证∠B′BC=90°.
…
请你参考上面的想法,证明F为CB′的中点.(一种方法即可)
(3)如图3,当∠ABC=135°时,AB′,CD的延长线相交于点E,求的值.
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【题目】快递员小王下午骑摩托车从总部出发,在一条东西走向的街道上来回收送包裹.他行驶的情况记录如下(向东记为“”,向西记为“”,单位:千米):
,,,,,,
(1)小王最后是否回到了总部?
(2)小王离总部最远是多少米?在总部的什么方向?
(3)如果小王每走米耗油毫升,那么小王下午骑摩托车一共耗油多少毫升?
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【题目】如图,矩形ABCD中,AB=4,BC=8,P,Q分别是直线BC,AB上的两个动点,AE=2,△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ,连接PF,PD,则PF+PD的最小值是().
A. B. C. D.
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