Question

如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M为BC的中点，求证：DM=

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AB．

Answer 1

考点：三角形中位线定理,等腰三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：取AC的中点N，连接MN，DN，由M为BC的中点，得到MN为三角形ABC的中位线，利用中位线定理得到MN等于AB的一半，且MN与AB平行，由两直线平行同位角相等得到∠NMC=∠B，而∠B=2∠C，等量代换得到∠NMC=2∠C，而DN为直角三角形ADC斜边上的中线，得到DN=NC，等边对等角得到∠MDN=∠C，又∠NMC为三角形DMN的外角，利用三角形的外角性质及等量代换可得出∠MDN=∠MND，利用等角对等边可得出DM=MN，等量代换即可得证．

解答：证明：取AC的中点N，连接MN，DN，
∵M为BC的中点，
∴MN为△ABC的中位线，
∴MN∥AB，且MN=

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AB，
∴∠B=∠NMC，又∠B=2∠C，
∴∠NMC=2∠C，
∵∠NMC为△DMN的外角，
∴∠NMC=∠MDN+∠MND=2∠C，
又DN为Rt△ADC斜边上的中线，
∴DN=NC=AN=

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AC，
∴∠MDN=∠C，
∴∠MND=∠C=∠MDN，
∴DM=MN，
则DM=

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2

AB．

点评：此题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，三角形的外角性质，以及平行线的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解本题的关键．