Question

当m的取值在什么范围内时，关于x的一元二次方程mx²-4x+5=0与x²-4mx+4m²-3m-3=0有实数根．是否存在整数m，使得方程的根也为整数？若存在，请求出；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：根的判别式

专题：

分析：先由关于x的一元二次方程mx²-4x+5=0与x²-4mx+4m²-3m-3=0有实数根，得出

m≠0 16-20m≥0 16m2-4(4m2-3m-3)≥0

，解不等式组得到-1≤m≤

4

5

且m≠0，即当-1≤m≤

4

5

且m≠0时，关于x的一元二次方程mx²-4x+5=0与x²-4mx+4m²-3m-3=0有实数根．假设存在整数m，使得方程的根也为整数，那么m=-1．将m=-1分别代入方程mx²-4x+5=0与x²-4mx+4m²-3m-3=0，求出这两个方程的解即可判断．

解答：解：∵关于x的一元二次方程mx²-4x+5=0与x²-4mx+4m²-3m-3=0有实数根，
∴

m≠0 16-20m≥0 16m2-4(4m2-3m-3)≥0

，
解得-1≤m≤

4

5

且m≠0，
即当-1≤m≤

4

5

且m≠0时，关于x的一元二次方程mx²-4x+5=0与x²-4mx+4m²-3m-3=0有实数根．
如果存在整数m，使得方程的根也为整数，那么m=-1．
当m=-1时，方程mx²-4x+5=0即为-x²-4x+5=0，
解得x₁=-5，x₂=1，符合题意；
当m=-1时，方程x²-4mx+4m²-3m-3=0即为x²+4x+4=0，
解得x₁=x₂=-2，符合题意；
故存在整数m=-1，使得方程的根也为整数．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac的关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．同时考查了一元二次方程的定义及解法．