Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是△ABC内一点，AD=2，DC、DB的长是关于x的方程x²-kx+24=0的两个实数根x₁、x₂，且x₁²+x₂²-x₁x₂=28．
（1）画出△ACD绕点C顺时针旋转90°后所得的△BCE；
（2）求DC、BD和ED的长，并判断△BDE的形状；
（3）求∠ADC的度数和AC的长．

Answer 1

考点：作图-旋转变换,根与系数的关系

专题：

分析：（1）作CE⊥CD，取CE=CD，然后连接BE、DE即可得解；
（2）由根与系数的关系得，x₁+x₂=k，x₁x₂=24，然后代入等式求出k的值，再求出x₁、x₂，即为DC、BD的长，根据旋转的性质可得CE=CD，BE=AD，然后判断出△CDE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出DE即可；再利用勾股定理逆定理判断△BDE是直角三角形；
（3）求出∠CEB，再根据全等三角形对应角相等可得∠ADC=∠CEB；求出AE，然后根据S_△ABC=S_△CDE+S_△ABE列出方程求解即可．

解答：解：（1）如图所示；

（2）由根与系数的关系得，x₁+x₂=k，x₁x₂=24，
∵x₁²+x₂²-x₁x₂=（x₁+x₂）²-3x₁x₂，
∴k²-3×24=28，
解得k₁=10，k₂=-10（舍去），
所以，原方程为x²-10x+24=0，
解得x₁=4，x₂=6，
所以，DC=4，DB=6，
由旋转的性质得，CE=CD=4，BE=AD=2，
所以，△CDE是等腰直角三角形，
所以，DE=

2

CD=4

2

，
∵DE²+BE²=（4

2

）²+2²=36，
BD²=6²=36，
∴DE²+BE²=BD²，
∴△BDE是直角三角形；

（3）∵△CDE是等腰直角三角形，△BDE是直角三角形，
∴∠CED=45°，∠BED=90°，
∴∠CEB=45°+90°=135°，
∵△ACD绕点C顺时针旋转90°后所得的△BCE，
∴∠ADC=∠CEB=135°；
∵∠ADC+∠CDE=135°+45°=180°，
∴点A、D、E三点共线，
∴AE=AD+DE=2+4

2

，
由旋转的性质得△ACD≌△BCE，
所以，S_△ABC=S_△CDE+S_△ABE，
所以，

1

2

AC²=

1

2

AE•BE+

1

2

CD²，
即

1

2

AC²=

1

2

×（2+4

2

）×2+

1

2

×4²，
解得AC=

10+4 2

．

点评：本题考查了利用旋转变换作图，根与系数的关系，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理逆定理，难点在于（3）判断出点A、D、E三点共线并利用三角形的面积列出方程．