Question

如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CB，CA分别相交于点E，F，则线段EF长度的最小值是（　　）

A． B．4.75  C．5       D．4.8

　

Answer 1

D【考点】切线的性质；勾股定理的逆定理；圆周角定理．

【专题】压轴题．

【分析】设EF的中点为O，圆O与AB的切点为D，连接OD，连接CO，CD，则有OD⊥AB；由勾股定理的逆定理知，△ABC是直角三角形OC+OD=EF，由三角形的三边关系知，CO+OD＞CD；只有当点O在CD上时，OC+OD=EF有最小值为CD的长，即当点O在直角三角形ABC的斜边AB的高上CD时，EF=CD有最小值，由直角三角形的面积公式知，此时CD=BC•AC÷AB=4.8．

【解答】解：如图，∵∠ACB=90°，

∴EF是直径，

设EF的中点为O，圆O与AB的切点为D，连接OD，CO，CD，则OD⊥AB．

∵AB=10，AC=8，BC=6，

∴∠ACB=90°，

∴EF为直径，OC+OD=EF，

∴CO+OD＞CD，

∵当点O在直角三角形ABC的斜边AB的高上CD时，EF=CD有最小值

∴由三角形面积公式得：CD=BC•AC÷AB=4.8．

故选D．

【点评】本题利用了切线的性质，勾股定理的逆定理，三角形的三边关系，直角三角形的面积公式求解．