【题目】如图1,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx﹣5与x轴交于A(﹣1,0),B(5,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)如图2,CE∥x轴与抛物线相交于点E,点H是直线CE下方抛物线上的动点,过点H且与y轴平行的直线与BC,CE分别相交于点F,G,试探究当点H运动到何处时,四边形CHEF的面积最大,求点H的坐标;
(3)若点K为抛物线的顶点,点M(4,m)是该抛物线上的一点,在x轴,y轴上分别找点P,Q,使四边形PQKM的周长最小,求出点P,Q的坐标.
【答案】(1)y=x2﹣4x﹣5;(2)H(,﹣);(3)P(,0),Q(0,﹣)
【解析】
(1)根据待定系数法直接确定出抛物线解析式;
(2)先求出直线BC的解析式,进而求出四边形CHEF的面积的函数关系式,即可求出;
(3)利用对称性找出点P,Q的位置,进而求出P,Q的坐标.
(1)∵点A(﹣1,0),B(5,0)在抛物线y=ax2+bx﹣5上,
∴,
解得,
∴抛物线的表达式为y=x2﹣4x﹣5,
(2)设H(t,t2﹣4t﹣5),
∵CE∥x轴,
∴点E的纵坐标为﹣5,
∵E在抛物线上,
∴x2﹣4x﹣5=﹣5,
∴x=0(舍)或x=4,
∴E(4,﹣5),
∴CE=4,
∵B(5,0),C(0,﹣5),
∴直线BC的解析式为y=x﹣5,
∴F(t,t﹣5),
∴HF=t﹣5﹣(t2﹣4t﹣5)=﹣(t﹣)2+,
∵CE∥x轴,HF∥y轴,
∴CE⊥HF,
∴S四边形CHEF=CEHF=﹣2(t﹣)2+,
∴H(,﹣);
(3)如图2,
∵K为抛物线的顶点,
∴K(2,﹣9),
∴K关于y轴的对称点K'(﹣2,﹣9),
∵M(4,m)在抛物线上,
∴M(4,﹣5),
∴点M关于x轴的对称点M'(4,5),
∴直线K'M'的解析式为y=,
∴P(,0),Q(0,﹣).
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【题目】在“书香八桂,阅读圆梦”读书活动中,某中学设置了书法、国学诵读、演讲、征文四个比赛项目(每人只参加一个项目),九(2)班全班同学都参加了比赛,该班班长为了了解本班同学参加各项比赛的情况,收集整理数据后,绘制以下不完整的折线统计图(图1)和扇形统计图(图2),根据图表中的信息解答下列各题:
(1)请求出九(2)全班人数;
(2)请把折线统计图补充完整;
(3)南南和宁宁参加了比赛,请用“列表法”或“画树状图法”求出他们参加的比赛项目相同的概率.
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【题目】如图,在△ABC中,D为AC上一点,且CD=CB,以BC为直径作☉O,交BD于点E,连接CE,过D作DFAB于点F,∠BCD=2∠ABD.
(1)求证:AB是☉O的切线;
(2)若∠A=60°,DF=,求☉O的直径BC的长。
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【题目】甲、乙两个工厂需加工生产 550 台某种机器,已知甲工厂每天加工生产的机器台数是乙工厂每天加工 生产的机器台数的 1.5 倍,并且加工生产 240 台这种机器甲工厂需要的时间比乙工厂需要的时间少 4 天
(1)求甲、乙两个工厂每天分别可以加工生产多少台这种机器?
(2)若甲工厂每天加工的生产成本是 3 万元,乙工厂每天加工生产的成本是 2.4 万元,要使得加工生 产这批机器的总成本不得高于 60 万元,至少应该安排甲工厂生产多少天?
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【题目】为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动,我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌,如下图.小明同学为测量宣传牌的高度,他站在距离教学楼底部处6米远的地面处,测得宣传牌的底部的仰角为,同时测得教学楼窗户处的仰角为(、、、在同一直线上).然后,小明沿坡度的斜坡从走到处,此时正好与地面平行.
(1)求点到直线的距离(结果保留根号);
(2)若小明在处又测得宣传牌顶部的仰角为,求宣传牌的高度(结果精确到0.1米,,).
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【题目】如图1,将一个正三角形绕其中心最少旋转,所得图形与原图的重叠部分是正六边形;如图2,将一个正方形绕其中心最少旋转 45°,所得图形与原图形的重叠部分是正八边形;依此规律,将一个正七边形绕其中心最少旋转______,所得图形与原图的重叠部分是正多边形.在图2中,若正方形的边长为,则所得正八边形的面积为_______.
图1 图2
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【题目】河南省开封市铁塔始建于公元1049年(北宋皇祐元年),是国家重点保护文物之一,在900多年中,历经了数次地震、大风、水患而巍然屹立,素有“天下第一塔”之称.如图,小明在铁塔一侧的水平面上一个台阶的底部A处测得塔顶P的仰角为45°,走到台阶顶部B处,又测得塔顶P的仰角为38.7°,已知台阶的总高度BC为3米,总长度AC为10米,试求铁塔的高度.(结果精确到1米,参考数据:sin38.7°≈0.63,cos38.7°≈0.78,tan38.7°≈0.80)
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【题目】如图,△ABC的三个顶点的坐标分别为A(﹣3,5),B(﹣3,0),C(2,0),将△ABC绕点B顺时针旋转一定角度后使A落在y轴上,与此同时顶点C恰好落在y=的图象上,则k的值为__.
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