Question

14．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，点E为腰AB的中点，且∠ECD=45°，连接AC与DE交于点F，若AF=3，则FC的长为$\frac{15}{2}$．

Answer 1

分析 延长DE交CB的延长线于N，截取BM=BE，连接EM，通过△ADE≌△BNE，得到AD=BN，设AE=BE=BM=a，求得BC=2a，EM=$\sqrt{2}$a，推出△CEM∽△ADC，根据相似三角形的性质得到$\frac{AD}{ME}=\frac{AC}{CM}$，求得AD=$\frac{4}{3}$a，推出△ADF∽△CNF，得到$\frac{AF}{CF}=\frac{AD}{CN}$，即可得到结论．

解答 解：延长DE交CB的延长线于N，截取BM=BE，连接EM，
∵AD∥BC，
∴∠DAB=∠ABN=90°，
在△ADE与△BNE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠EBN}\\{AE=BE}\\{∠AED=∠BEN}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BNE，
∴AD=BN，
设AE=BE=BM=a，
∴BC=2a，EM=$\sqrt{2}$a，
∵∠ABC=90°，AB=BC，
∴∠BAC=∠ACB=45°，AC=$\sqrt{2}$BC=2$\sqrt{2}$a，
∴∠DAC=∠BME=∠DCE=∠45°，
∴∠CBE=∠DCA，
∴△CEM∽△ADC，
∴$\frac{AD}{ME}=\frac{AC}{CM}$，
即$\frac{AD}{\sqrt{2}a}=\frac{2\sqrt{2}a}{3a}$，
∴AD=$\frac{4}{3}$a，
∴BN=AD=$\frac{4}{3}$a，
∵AD∥CN，
∴△ADF∽△CNF，
∴$\frac{AF}{CF}=\frac{AD}{CN}$，
即$\frac{3}{CF}=\frac{\frac{4}{3}a}{\frac{10}{3}a}$，
∴CF=$\frac{15}{2}$．
故答案为：$\frac{15}{2}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质．全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．