【题目】(1)观察猜想
如图(1),在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D是BC的中点.以点D为顶点作正方形DEFG,使点A,C分别在DG和DE上,连接AE,BG,则线段BG和AE的数量关系是_____;
(2)拓展探究
将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后(旋转角度大于0°,小于或等于360°),如图2,则(1)中的结论是否仍然成立?如果成立,请予以证明;如果不成立,请说明理由.
(3)解决问题
若BC=DE=2,在(2)的旋转过程中,当AE为最大值时,直接写出AF的值.
【答案】(1)BG=AE.
(2)成立.
如图②,
连接AD.∵△ABC是等腰三直角角形,∠BAC=90°,点D是BC的中点.
∴∠ADB=90°,且BD=AD.
∵∠BDG=∠ADB-∠ADG=90°-∠ADG=∠ADE,DG=DE.
∴△BDG≌△ADE,∴BG=AE.…………………………………………7分
(3)由(2)知,BG=AE,故当BG最大时,AE也最大.
正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转270°时,BG最大,如图③.
若BC=DE=2,则AD=1,EF=2.
在Rt△AEF中,AF2=AE2+EF2=(AD+DE)2+EF2=(1+2)2+22=13.
∴AF=
【解析】
解:(1)BG=AE.
(2)成立.
如图②,连接AD.
∵△ABC是等腰三直角角形,∠BAC=90°,点D是BC的中点.
∴∠ADB=90°,且BD=AD.
∵∠BDG=∠ADB-∠ADG=90°-∠ADG=∠ADE,DG=DE.
∴△BDG≌△ADE,∴BG=AE.
(3)由(2)知,BG=AE,故当BG最大时,AE也最大.Z+X+X+K]
因为正方形DEFG在绕点D旋转的过程中,G点运动的图形是以点D为圆心,DG为半径的圆,故当正方形DEFG旋转到G点位于BC的延长线上(即正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转270°)时,BG最大,如图③.
若BC=DE=2,则AD=1,EF=2.
在Rt△AEF中,AF2=AE2+EF2=(AD+DE)2+EF2=(1+2)2+22=13.
∴AF=.
即在正方形DEFG旋转过程中,当AE为最大值时,AF=.
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【题目】定义:在平面直角坐标系中,对于任意两点,,若点满足,,那么称点是点,的融合点.
例如:,,当点满是,时,则点是点,的融合点,
(1)已知点,,,请说明其中一个点是另外两个点的融合点.
(2)如图,点,点是直线上任意一点,点是点,的融合点.
①试确定与的关系式.
②若直线交轴于点,当为直角三角形时,求点的坐标.
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【题目】如图,将边长为的正方形放在平面直角坐标系第二象限,使边落在轴负半轴上,且点的坐标是.
(1)直线经过点,且与轴交于点,求四边形的面积;
(2)若直线经过点,且将正方形分成面积相等的两部分,求直线的解析式;
(3)若直线经过点且与直线平行.将(2)中直线沿着轴向上平移个单位,交轴于点,交直线于点,求的面积.
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【题目】如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与轴交于点C,点O为坐标原点,点D为抛物线的顶点,点E在抛物线上,点F在x轴上,四边形OCEF为矩形,且OF=2,EF=3.
(1)求抛物线所对应的函数解析式.
(2)若点P为抛物线对称轴上的一个动点,求PAC周长的最小值.
(3)将AOC绕点C逆时针旋转90°,点A对应点为点G,问点G是否在该抛物线上?请说明理由.
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【题目】因为一次函数与的图象关于轴对称,所以我们定义:函数与互为“镜子”函数.
(1)请直接写出函数的“镜子”函数:________.
(2)如图,一对“镜子”函数与的图象交于点,分别与轴交于两点,且AO=BO,△ABC的面积为,求这对“镜子”函数的解析式.
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【题目】如图,已知矩形ABCD沿着直线BD折叠,使点C落在C/处,BC/交AD于E,AD=8,AB=4,DE的长=________________.
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【题目】如图,在□ABCD中,AD=6,AB=10,∠A=30°,以点A为圆心,AD的长为半径画弧交AB于点E,连接CE.
(1)求弧DE的长;
(2)求阴影部分的面积.
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