Question

【题目】如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF=2，EF=3.

（1）求抛物线所对应的函数解析式.

（2）若点P为抛物线对称轴上的一个动点,求PAC周长的最小值.

（3）将AOC绕点C逆时针旋转90°，点A对应点为点G，问点G是否在该抛物线上？请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）,（2）,（3）点G不在该抛物线上.

【解析】

（1）利用矩形的性质得出E，C点坐标，进而利用待定系数法求二次函数解析式；

（2）先根据题意得出直线AE与对称轴的交点为点P时，△PAC的周长最小，再求出AC+AE的值即可；

（3）首先根据旋转条件求出G点的坐标，然后将点G的坐标代入抛物线的解析式中直接进行判定即可．

（1）∵四边形OCEF为矩形，且OF=2，EF=3，

∴C点坐标为：（0，3），E点坐标为：（2，3），

将C，E代入y=-x2+bx+c得：

，

解得：，

∴抛物线对应的函数解析式为：y=-x2+2x+3;

（2）∵y=-x2+2x+3,

∴A(-1,0),

∴AF=3,

由于点C、E关于抛物线对称轴对称，

∴取直线AE与对称轴的交点为点P时，

△PAC的周长最小，

△PAC周长=AC+AE=+=+=.

（3）点G不在该抛物线上.

根据题意，绕点C逆时针旋转，落在所在的直线上，

由（2）可知，

∴点A对应点G的坐标为，

当时，，

所以点G不在该抛物线上.