Question

10．如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形．AO=BO，△AOB的面积为2，点C为OA的中点．
（1）求C点的坐标．
（2）动点P从点B出发．以每秒1个单位长度的速度在射线BO上运动，点P运动的时间为t秒，用含t的式子表示△POC的面积（直接写出t的取值范围）．
（3）在（2）的条件下，过点A，C作直线m，n平行于x轴．连接PC并延长交直线m于点R，在直线n上是否存在一点Q，使△PRQ为等腰直三角形？若存在，请求出t值及Q点坐标．

Answer 1

分析 （1）根据三角形面积公式求得OA的长，则OC即可求得，则C的坐标即可得到；
（2）分成0≤t＜2和t≥2两种情况，利用t表示出OP的长，然后利用三角形的面积公式求解；
（3）当P不在O点时，△PQR是等腰直角三角形，则∠RPQ=90°，PR=PQ，分成P在线段OB上和P在BO的延长线上两种情况讨论，当P在O点时，Q一定是直角顶点，分成Q在第一象限和第二象限两种情况讨论即可．

解答 解：（1）∵S_△AOB=$\frac{1}{2}$OA•OB=$\frac{1}{2}$OA²=2，
∴OA=OB=2，
又∵C是OA的中点，
∴OC=$\frac{1}{2}$OA=1，
∴C的坐标是（0，1）；
（2）当0≤t＜2时，P在OB上，则OP=2-t，则S_△POC=$\frac{1}{2}$CO•OP=$\frac{1}{2}$×1×（2-t）=-$\frac{1}{2}$t+1；
当t≥2时，P在BO的延长线上，OP=t-2，则S_△POC=$\frac{1}{2}$CO•OP=$\frac{1}{2}$×1×（t-2）=$\frac{1}{2}$t-1；
（3）当P在线段OB上时，△PRQ是等腰直角三角形，则∠RPQ=90°，RP=PQ，如图1，
作RE⊥OB于点E，作QB⊥OB于点F．
∵∠RPQ=90°，
∴∠RPO+∠QPF=90°，
又∵直角△PRE中，∠ERP+∠RPE=90°，
∴∠ERP=∠QPF，
∴在△PRE和△QPB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠REP=∠QFP}\\{∠ERP=∠QPF}\\{PR=PQ}\end{array}\right.$，
∴△PRE≌△QPB．
∴FQ=PE=1，PF=RE=2．
又∵AC=OC，m∥OB，
∴O是PE的中点，
∴OE=OP=$\frac{1}{2}$PE=$\frac{1}{2}$，
∴OF=OP+PF=$\frac{1}{2}$+2=$\frac{5}{2}$，BP=2-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
则t=$\frac{3}{2}$，Q的坐标是（-$\frac{5}{2}$，1）；
同理，当P在x轴的负半轴上时，t=2+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$，Q的坐标是（-$\frac{5}{2}$，1）；
当P在O点时，R在A点，△PQR是等腰直角三角形，则PR一定是斜边，当Q在第一象限时，如图2．
CQ=$\frac{1}{2}$OA=1，则Q的坐标是（1，1），此时t=2．
当Q在第二象限时，Q的坐标是（-1，1），此时t=2．

点评 本题考查了一次函数的图象和全等三角形的判定与性质，正确对△PQR进行讨论是解决本题的关键．