Question

17．先阅读下列材料，然后再解答问题：
解不等式：|x|＜3
通过对x的符号讨论，可将原不等式中的绝对值符号去掉，当x≥0时，|x|=x，|x|＜3即为x＜3．此时原不等式满足两个条件x≥0和x＜3，即$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{x＜3}\end{array}\right.$，当x＜0时，|x|=-x，|x|＜3即为-x＜3．此时原不等式满足两个条件x＜0和-x＜3，即$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{-x＜3}\end{array}\right.$．∴原不等式|x|＜3可化为两个不等式组：$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{x＜3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{-x＜3}\end{array}\right.$，解这两个不等式组得：0≤x＜3或-3＜x＜0．在数轴上表示出来为：
两部分解集合起来即为|x|＜3的解集．即|x|＜3的解集为-3＜x＜3．
（1）直接写出不等式：|2x-1|＜3的解集；
（2）解不等式：x+|2x-1|＞3．
（3）解不等式：|x|+|2x-1|＜3需化成几个不等式组？解出该不等式．

Answer 1

分析 （1）根据题中的解题方法得-3＜2x-1＜3，然后解不等式组即可；
（2）讨论：当2x-1≥0时，即x≥$\frac{1}{2}$，x+2x-1＞3；当2x-1＜0时，即x＜$\frac{1}{2}$，x-2x+1＞3，然后分别解两个不等式组即可得到原不等式的解集；
（3）通过去绝对值，可分类讨论：当x≤0，则-x-2x+1＜3；当0＜x≤$\frac{1}{2}$时，则x-2x+1＜3；当x＞$\frac{1}{2}$时，x+2x-1＜3，从而可把原不等式化为三个不等式组．

解答 解：（1）-3＜2x-1＜3，
解得-1＜x＜2；
（2）当2x-1≥0时，即x≥$\frac{1}{2}$，x+2x-1＞3，解得x＞$\frac{4}{3}$，所以x＞$\frac{4}{3}$，
当2x-1＜0时，即x＜$\frac{1}{2}$，x-2x+1＞3，解得x＜-2，所以x＜-2，
所以不等式的解集为x＞$\frac{4}{3}$或x＜-2；
（3）当x≤0，则-x-2x+1＜3，
当0＜x≤$\frac{1}{2}$时，则x-2x+1＜3，
当x＞$\frac{1}{2}$时，x+2x-1＜3，
所以原不等式可化为$\left\{\begin{array}{l}{x≤0}\\{-x-2x+1＜3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{0＜x≤\frac{1}{2}}\\{x-2x+1＜3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＞\frac{1}{2}}\\{x+2x-1＜3}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．注意绝对值的意义的运用．