Question

【题目】已知，，()．

（1）观察猜想

如图1，当时，请直接写出线段与的数量关系：　　　　；位置关系：　　　　；

（2）类比探究

如图2，已知，分别是，，，的中点，写出与的数量关系和位置关系，并说明理由；

（3）解决问题

如图，已知：，，分别是，，，的中点，将绕点旋转，直接写出四边形的面积的范围(用含的三角函数式子表示)．

Answer 1

【答案】（1），；（2），，理由见解析；（3）．

【解析】

（1）利用三角形全等三角形或图形旋转的性质问题可解；

（2）在（1）中结论的基础上，利用三角形中位线的性质证明四边形是菱形，证明，利用锐角三角函数的知识可证明；

（3）在（2）的基础上，证明四边形是菱形，利用中位线性质证明到菱形的边GF是CD的一半，通过旋转的过程得到CD的取值范围，再利用三角函数的知识，表示菱形面积，则问题可解．

（1）如图

∵

∴

∵，，

∴

∴，=

∵

∴

故答案为：，

（2），．

理由如下：

连接，，

交于，

∵，

∴

∵，，

∴，

∴，，

∴，

连接，

∵分别是的中点，

∴，，，，

，，

∴，，

∴四边形是菱形，

∴

∵，

∴．

（3）

如图，

由（2）同理可知，四边形是菱形，，

将绕点旋转过程中，

则菱形的边长GF范围为

过F做 于K

菱形的面积为

写出四边形的面积的范围为：