Question

2．已知点M（2，1）在二次函数y=ax²-2bx+1的图象上．
（1）b=a；（用含a的代数式表示）；
（2）该二次函数的图象与x轴的两个交点为A、B，若AB=1，求该二次函数的表达式；
（3）在（2）的条件下，若A（m，y₁），B（m+2，y₂）两点都在该函数的图象上，试探究y₁与y₂的大小．

Answer 1

分析 （1）将点M（2，1）代入二次函数y=ax²-2bx+1可得结果；
（2）首先根据a与b的关系得出对称轴，然后根据对称性，解得A、B的坐标，设二次函数解析式为交点式y=a（x-$\frac{1}{2}$）（x$-\frac{3}{2}$），将M坐标代入解得a，将a代入求得表达式；
（3）分别把A（m，y₁），B（m+2，y₂）两点代入y=$\frac{4}{3}$x²-$\frac{8}{3}$x+1，得到y₂-y₁=（$\frac{4}{3}$m²+$\frac{8}{3}$m+1）-（$\frac{4}{3}$m²-$\frac{8}{3}$m+1）=$\frac{16}{3}m$，然后讨论：当$\frac{16}{3}$m＜0；$\frac{16}{3}m$=0；$\frac{16}{3}m$＜0即可．

解答 解：（1）将点M（2，1）代入二次函数y=ax²-2bx+1得，
1=a×2²-2×2×b+1，
解得：b=a．
故答案为：a；

（2）∵b=a，
∴二次函数y=ax²-2bx+1的对称轴为：x=-$\frac{-2b}{2a}$=1，
∵二次函数的图象与x轴的两个交点为A、B，AB=1，
设点A在点B的左侧，
∴点A的横坐标x_A=1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，点B的横坐标x_B=1+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴设二次函数的表达式为：y=a（x-$\frac{1}{2}$）（x$-\frac{3}{2}$），
把点M（2，1）代入得：1=a（2-$\frac{1}{2}$）（2$-\frac{3}{2}$），解得：a=$\frac{4}{3}$，
∴二次函数的表达式为：y=$\frac{4}{3}$（x-$\frac{1}{2}$）（x$-\frac{3}{2}$），整理得y=$\frac{4}{3}$x²-$\frac{8}{3}$x+1；

（3）∵A（m，y₁），B（m+2，y₂）两点都在y=$\frac{4}{3}$x²-$\frac{8}{3}$x+1函数的图象上，
∴y₁=$\frac{4}{3}$m²-$\frac{8}{3}$m+1；，y₂=$\frac{4}{3}$（m+2）²-$\frac{8}{3}$（m+2）+1=$\frac{4}{3}$m²+$\frac{8}{3}$m+1，
∴y₂-y₁=（$\frac{4}{3}$m²+$\frac{8}{3}$m+1）-（$\frac{4}{3}$m²-$\frac{8}{3}$m+1）=$\frac{16}{3}m$，
当$\frac{16}{3}$m＜0，即m＜0时，y₁＞y₂；
当$\frac{16}{3}$m=0，即m=0时，y₁=y₂；
当$\frac{16}{3}$m＞0，即m＞0时，y₁＜y₂．

点评 本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、二函数的性质，掌握抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，利用分类讨论是解答此题的关键．