Question

3．如图，在⊙O中，半径OA⊥弦BC于点H，点D在优弧BC上
（1）若∠AOB=50°，求∠ADC的度数；
（2）若BC=8，AH=2，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）根据垂径定理可得$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，再根据圆周角定理可得∠ADC=$\frac{1}{2}$∠AOB，进而可得答案；
（2）根据垂径定理可得BH=4，设HO=x，则AO=BO=x+2，在Rt△BHO中利用勾股定理可得（x+2）²=x²+4²，解方程可得x的值，从而可得答案．

解答 解：（1）∵半径OA⊥弦BC于点H，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，
∴∠ADC=$\frac{1}{2}$∠AOB，
∵∠AOB=50°，
∴∠ADC=25°；

（2）∵半径OA⊥弦BC于点H，
∴BH=$\frac{1}{2}$BC，
∵BC=8，
∴BH=4，
设HO=x，则AO=BO=x+2，
在Rt△BHO中，BO²=HO²+BH²，
∴（x+2）²=x²+4²，
解得：x=3，
∴AO=5．
答：⊙O的半径为5．

点评 此题主要考查了垂径定理，圆周角定理，以及勾股定理，关键是掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．