Question

如图，已知正方形ABCD与正方形CEFG，点G在边CD上，连接AF，取AF中点M，连接DM、GM．求证：
（1）DM=GM；
（2）DM⊥GM．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形,正方形的性质

专题：证明题

分析：延长GM交AD于点H，（1）易证∠HAM=∠GFM，可得△AHM≌△FGM，根据全等三角形对应边相等即可解题；
（2）根据（1）中结论可得AH=FG，即可求得DG=DH，根据等腰三角形底边三线合一的性质即可解题．

解答：证明：延长GM交AD于点H，

（1）∵B，C，E三点共线，∴AD∥FG，
∴∠HAM=∠GFM，
∵在△AHM和△FGM中，

∠AMH=∠FMG ∠HAM=∠GFM AM=FM

，
∴△AHM≌△FGM，（AAS）
∴HM=GM，
∴DM=HM=GM，
（2）∵△AHM≌△FGM，
∴AH=FG，
∵DG=CD-CG=AD-FG，
 DH=AD-AH=AD-FG，
∴DG=DH，
∴DM⊥GM．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△AHM≌△FGM是解题的关键．