Question

如图所示，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，E是AC的中点，CD⊥AC，ED交BC于F．若CD=AB，求证：AF⊥BE．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：证明题

分析：易证△ABE≌△CDE，△ACF≌△DCF，即可得∠ABE=∠CDE，∠CDE=∠CAF，根据∠ABE+∠AEB=90°即可求得∠AHE=90°，即可解题．

解答：解：如图，

在△ABE和△CDE中，

AB=CD ∠BAE=∠DCE AE=CD

，
∴△ABE≌△CDE（SAS），
∴∠ABE=∠CDE，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ACF=45°，
∴∠DCF=45°，
在△ACF和△DCF中，

AC=CD ∠ACF=∠DCF CF=CF

，
∴△ACF≌△DCF（SAS）
∴∠CAF=∠CDF，
∴∠CAF=∠ABE，
∵∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠CAF+∠AEB=90°，
∴∠AHE=90°．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ABE≌△CDE和△ACF≌△DCF是解题的关键．