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【题目】如图,已知直线与抛物线 相交于和点两点.

⑴求抛物线的函数表达式;

⑵若点是位于直线上方抛物线上的一动点,以为相邻两边作平行四边形,当平行四边形的面积最大时,求此时四边形的面积及点的坐标;

⑶在抛物线的对称轴上是否存在定点,使抛物线上任意一点到点的距离等于到直线的距离,若存在,求出定点的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】;⑵当 □MANB== ,此时;⑶存在. 时,无论取任何实数,均有. 理由见解析.

【解析】

1)利用待定系数法,将AB的坐标代入y=ax2+2x+c即可求得二次函数的解析式;

2)过点MMHx轴于H,交直线ABK,求出直线AB的解析式,设点Ma-a2+2a+3),则Kaa+1),利用函数思想求出MK的最大值,再求出AMB面积的最大值,可推出此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标;

3)如图2,分别过点BC作直线y=的垂线,垂足为NH,设抛物线对称轴上存在点F,使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y=的距离,其中F1a),连接BFCF,则可根据BF=BNCF=CN两组等量关系列出关于a的方程组,解方程组即可.

1)由题意把点(-10)、(23)代入y=ax2+2x+c

得,

解得a=-1c=3

∴此抛物线C函数表达式为:y=-x2+2x+3

2)如图1,过点MMHx轴于H,交直线ABK

将点(-10)、(23)代入y=kx+b中,

得,

解得,k=1b=1

yAB=x+1

设点Ma-a2+2a+3),则Kaa+1),

MK=-a2+2a+3-a+1

=-a-2+

根据二次函数的性质可知,当a=时,MK有最大长度

SAMB最大=SAMK+SBMK

=MKAH+MKxB-xH

=MKxB-xA

=××3

=

∴以MAMB为相邻的两边作平行四边形MANB,当平行四边形MANB的面积最大时,

S最大=2SAMB最大=2×=M);

3)存在点F

y=-x2+2x+3

=-x-12+4

∴对称轴为直线x=1

y=0时,x1=-1x2=3

∴抛物线与点x轴正半轴交于点C30),

如图2,分别过点BC作直线y=的垂线,垂足为NH

抛物线对称轴上存在点F,使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y=的距离,设F1a),连接BFCF

BF=BN=-3=CF=CH=

由题意可列:

解得,a=

F1,).

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