【题目】如图,已知直线与抛物线: 相交于和点两点.
⑴求抛物线的函数表达式;
⑵若点是位于直线上方抛物线上的一动点,以为相邻两边作平行四边形,当平行四边形的面积最大时,求此时四边形的面积及点的坐标;
⑶在抛物线的对称轴上是否存在定点,使抛物线上任意一点到点的距离等于到直线的距离,若存在,求出定点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】⑴;⑵当 ,□MANB=△= ,此时;⑶存在. 当时,无论取任何实数,均有. 理由见解析.
【解析】
(1)利用待定系数法,将A,B的坐标代入y=ax2+2x+c即可求得二次函数的解析式;
(2)过点M作MH⊥x轴于H,交直线AB于K,求出直线AB的解析式,设点M(a,-a2+2a+3),则K(a,a+1),利用函数思想求出MK的最大值,再求出△AMB面积的最大值,可推出此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标;
(3)如图2,分别过点B,C作直线y=的垂线,垂足为N,H,设抛物线对称轴上存在点F,使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y=的距离,其中F(1,a),连接BF,CF,则可根据BF=BN,CF=CN两组等量关系列出关于a的方程组,解方程组即可.
(1)由题意把点(-1,0)、(2,3)代入y=ax2+2x+c,
得,,
解得a=-1,c=3,
∴此抛物线C函数表达式为:y=-x2+2x+3;
(2)如图1,过点M作MH⊥x轴于H,交直线AB于K,
将点(-1,0)、(2,3)代入y=kx+b中,
得,,
解得,k=1,b=1,
∴yAB=x+1,
设点M(a,-a2+2a+3),则K(a,a+1),
则MK=-a2+2a+3-(a+1)
=-(a-)2+,
根据二次函数的性质可知,当a=时,MK有最大长度,
∴S△AMB最大=S△AMK+S△BMK
=MKAH+MK(xB-xH)
=MK(xB-xA)
=××3
=,
∴以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB,当平行四边形MANB的面积最大时,
S最大=2S△AMB最大=2×=,M(,);
(3)存在点F,
∵y=-x2+2x+3
=-(x-1)2+4,
∴对称轴为直线x=1,
当y=0时,x1=-1,x2=3,
∴抛物线与点x轴正半轴交于点C(3,0),
如图2,分别过点B,C作直线y=的垂线,垂足为N,H,
抛物线对称轴上存在点F,使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y=的距离,设F(1,a),连接BF,CF,
则BF=BN=-3=,CF=CH=,
由题意可列:,
解得,a=,
∴F(1,).
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,函数的图象与直线交于点.M是函数图象上一点,过M作x轴的平行线交直线于点N.
(1)求k和p的值;
(2)设点M的横坐标为m.
①求点N的坐标;(用含m的代数式表示)
②若的面积大于,结合图象直接写出m的取值范围.
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【题目】如图,的顶点在第一象限,且角的两边与坐标轴的正半轴分别交于点,,,,设动点的坐标为.
(1)探究,之间的数量关系,并证明
(2)已知点,直接写出:的最小值是 ,此时点的坐标为 .
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【题目】2020年春节前夕“新型冠状病毒”爆发,疫情就是命令,防控就是使命.全国各地驰援武汉的医护工作者,践行医者仁心的使命与担当,舍小家,为大家,用自己的专业知识与血肉之躯构筑起全社会抗击疫情的钢铁长城.下面是2月9日当天全国部分省市驰援武汉医护工作者的人数统计图(不完整).
请解答下列问题:
(1)①上述省市2月9日当天驰援武汉的医护工作者的总人数为 人;
②请将条形统计图补充完整;
(2)请求出扇形统计图中“山东”所对应扇形的圆心角的度数;
(3)本次山东驰援武汉的医护工作者中,有5人报名去重症区,王医生和李医生就在其中,若从报名的5人中随机安排2人,求同时安排王医生和李医生的概率.
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【题目】大邑县某汽车出租公司有若干辆同一型号的货车对外出租,每辆货车的日租金实行淡季、旺季两种价格标准,旺季每辆货车的日租金比淡季上涨25%.据统计,淡季该公司平均每天有10辆货车未出租,日租金总收入为3200元;旺季所有的货车每天能全部租出,日租金总收入为6000元.
(1)求该出租公司这批对外出租的货车共有多少辆?
(2)经市场调查发现,在旺季如果每辆货车的日租金每上涨20元,每天租出去的货车就会减少1辆,不考虑其它因素,该出租公司的日租金总收入最高是多少元?当日租金总收入最高时,每天出租货车多少辆?
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【题目】如图1,点是数轴上:从左到右排列的三个点,分别对应的数为某同学将刻度尺如图2放置.使刻度尺上的数字对齐数轴上的点,发现点对齐刻度,点对齐刻度.
(1)在图1的数轴上, 个单位长度;数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的 .
(2)求数轴上点所对应的数;
(3)在图1的数轴上,点是线段上一点,满足求点所表示的数.
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【题目】天门山索道是世界最长的高山客运索道,位于张家界天门山景区.在一次检修维护中,检修人员从索道A处开始,沿A﹣B﹣C路线对索道进行检修维护.如图:已知米,米,AB与水平线的夹角是,BC与水平线的夹角是.求:本次检修中,检修人员上升的垂直高度是多少米?(结果精确到1米,参考数据:)
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【题目】在△ABC中,∠ACB=45°,点D为射线BC上一动点(与点B、C不重合),连接AD,以AD为一边在AD一侧作正方形ADEF(如图1).
(1)如果AB=AC,且点D在线段BC上运动,证明:CF⊥BD;
(2)如果AB≠AC,且点D在线段BC的延长线上运动,请在图2中画出相应的示意图,此时(1)中的结论是否成立?请说明理由;
(3)设正方形ADEF的边DE所在直线与直线CF相交于点P,若AC=4,CD=2,求线段CP的长.
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