Question

【题目】如图，正方形ABCD的边长为6，点E是BC的中点，连接AE与对角线BD交于点G，连接CG并延长，交AB于点F，连接DE交CF于点H，连接AH．以下结论：①CF⊥DE；②；③AD＝AH；④GH＝，其中正确结论的序号是__________．

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

根据全等三角形的判定定理证出和，根据全等三角形的性质证出∠CDE=∠BCF，即可证出∠CHE=90°，从而判断①；根据勾股定理求出DE，利用面积求出CH，证出，即可求出HF，从而判断②；过点A作AM⊥DH于M，证出AM垂直平分DH，即可判断③；证出，列出比例式即可判断④．

解：∵正方形ABCD的边长为6，点E是BC的中点，BD为正方形的对角线

∴

∴

∴

在和中

∴

∴

∴∠CDE=∠BCF

∵∠CDE＋∠CED=90°

∴∠BCF＋∠CED=90°

∴∠CHE=90°

∴CF⊥DE，故①正确；

∵，

根据勾股定理

∵

∴

∵

∴

∴

∴

∴HF=CF－CH=

∴，故②正确；

过点A作AM⊥DH于M

∵

根据勾股定理可得

∵

∴

∵CD=DA，∠DHC=∠AMD=90°

∴

∴DM=，

∴DM=，

∴AM垂直平分DH

∴AD=AH，故③正确；

∵

∴EH=DE－DH=，

∵

∴AM∥CF

∴

∴

即

解得GH＝，故④正确．

综上：正确的有①②③④．

故答案为：①②③④．