Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，ABOC的顶点A（0，2），点B（﹣4，0），点O为坐标原点，点C在第一象限，若将△AOB沿x轴向右运动得到△EFG（点A、O、B分别与点E、F、G对应），运动速度为每秒2个单位长度，边EF交OC于点P，边EG交OA于点Q，设运动时间为t（0＜t＜2）秒．

（1）在运动过程中，线段AE的长度为　 　（直接用含t的代数式表示）；

（2）若t＝1，求出四边形OPEQ的面积S；

（3）在运动过程中，是否存在四边形OPEQ为菱形？若存在，直接写出此时四边形OPEQ的面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）2t；（2）2；（3）存在，3﹣5

【解析】

（1）根据距离=速度×时间即可解答；

（2）由平移的性质可得AB∥EG，OA∥EF，可证四边形OPEQ是平行四边形，可得AE＝BG＝2；然后根据全等三角形的性质可得AQ＝OQ＝OA＝1，最后根据平行四边形的面积公式求解即可；

（3）由菱形的性质可得EQ＝OQ，然后再根据相似三角形的性质可得AQ＝t，即OQ＝2﹣，列方程可得t＝﹣1，最后根据平行四边形的面积公式求解即可；

解：（1）∵运动速度为每秒2个单位长度

∴在运动过程中，线段AE的长度为2t，

故答案为：2t；

（2）∵将△AOB沿x轴向右运动得到△EFG，

∴AB∥EG，OA∥EF，

∵四边形ABOC是平行四边形，

∴AB∥OC，

∴EG∥OC，

∵OQ∥PE，

∴四边形OPEQ是平行四边形，

∵A（0，2），点B（﹣4，0），

∴OA＝2，OB＝4，

∵t＝1，

∴AE＝BG＝2，

∴OG＝2，

∵AE＝OC，

∵AC∥OB，

∴∠AEQ＝∠OGQ，∠EAQ＝∠GOQ，

∴△AEQ≌△OGQ（ASA），

∴AQ＝OQ＝OA＝1，

∴四边形OPEQ的面积S＝1×2＝2；

（3）存在，

由（2）知四边形OPEQ是平行四边形，

若四边形OPEQ是菱形，

则EQ＝OQ，

∵AE∥OB，AB∥EG，

∴∠AEQ＝∠ABO＝∠EGO，

∠EAQ＝∠AOB，

∴△AEQ∽△ABO，

∴，

∵AE＝t，

∴＝，

∴AQ＝t，

∴OQ＝2﹣，

∵QE＝OQ，

∴＝OQ，

∴＝2﹣，

解得：t＝﹣1，

∴AE＝﹣1，OQ＝，

∴四边形OPEQ的面积＝AEOQ＝3﹣5．