【题目】阅读下面材料,并解决问题:
(1)如图①等边△ABC内有一点P,若点P到顶点A、B、C的距离分别为3,4,5,求∠APB的度数.
为了解决本题,我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处,此时△ACP′≌△ABP,这样就可以利用旋转变换,将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中,从而求出∠APB=__________;
(2)基本运用
请你利用第(1)题的解答思想方法,解答下面问题:
已知如图②,△ABC中,∠CAB=90°,AB=AC,E、F为BC上的点且∠EAF=45°,求证:EF2=BE2+FC2;
(3)能力提升
如图③,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,∠ABC=30°,点O为Rt△ABC内一点,连接AO,BO,CO,且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°,求OA+OB+OC的值.
【答案】(1)150°;(2)EF2=BE2+FC2.(3).
【解析】
(1)由△ACP′≌△ABP可得旋转角∠PAP′=60°,可得△APP′为等边三角形,根据勾股定理逆定理可证明△PP′C为直角三角形,根据∠APB=∠AP′C=∠AP′P+∠PP′C即可得答案;(2)如图2,把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′,由旋转的性质可得AE′=AE,CE′=BE,∠CAE′=∠BAE,∠ACE′=∠B,∠EAE′=90°,根据角的和差关系可得∠EAF=∠E′AF,利用SAS可证明△EAF≌△E′AF,可得E′F=EF,根据等腰直角三角形的性质可得∠E′CF=90°,根据勾股定理即可得结论;(3)如图3,将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处,连接OO′,根据含30°角的直角三角形的性质及勾股定理可求出AB、BC的长,根据旋转的性质可得∠A′BC=90°,△BOO′是等边三角形,由∠AOC=∠COB=∠BOA=120°,利用平角的定义可证明C、O、A′、O′四点共线,利用勾股定理求出A′C的长即可得答案.
(1)∵△ACP′≌△ABP,
∴AP′=AP=3、CP′=BP=4、∠AP′C=∠APB,
由题意知旋转角∠PAP′=60°,
∴△APP′为等边三角形,
∴P′P=AP=3,∠AP′P=60°,
∵P′C=PB=4,PC=5,
∴PC2=P′C2+P′P2,
∴△PP′C为直角三角形,且∠PP′C=90°,
∴∠APB=∠AP′C=∠AP′P+∠PP′C=60°+90°=150°.
故答案为:150°
(2)如图2,把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′,
由旋转的性质得,AE′=AE,CE′=BE,∠CAE′=∠BAE,∠ACE′=∠B,∠EAE′=90°,
∵∠EAF=45°,
∴∠E′AF=∠EAE′-∠EAF=45°,
∴∠EAF=∠E′AF,
在△EAF和△E′AF中,
∴△EAF≌△E′AF(SAS),
∴E′F=EF,
∵∠CAB=90°,AB=AC,
∴∠B=∠ACB=45°,
∴∠E′CF=45°+45°=90°,
由勾股定理得,E′F2=CE′2+FC2,
即EF2=BE2+FC2.
(3)如图3,将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处,连接OO′,
∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=1,∠ABC=30°,
∴AB=2,
∴BC=,
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°,∠ABC=30°,
∴∠A′BC=∠ABC+60°=30°+60°=90°,
∵∠C=90°,AC=1,∠ABC=30°,
∴AB=2AC=2,
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°,得到△A′O′B,
∴A′B=AB=2,BO=BO′,A′O′=AO,
∴△BOO′是等边三角形,
∴BO=OO′,∠BOO′=∠BO′O=60°,
∵∠AOC=∠COB=∠BOA=120°,
∴∠COB+∠BOO′=∠BO′A′+∠BO′O=120°+60°=180°,
∴C、O、A′、O′四点共线,
在Rt△A′BC中,A′C=,
∴OA+OB+OC=A′O′+OO′+OC=A′C=.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,已知正比例函数y=x的图象与反比例函数y=的图象交于A(a,-2),B两点.
(1)求反比例函数的表达式和点B的坐标;
(2)P是第一象限内反比例函数图象上一点,过点P作y轴的平行线,交直线AB于点C,连接PO,若△POC的面积为3,求点P的坐标.
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【题目】点A(x1,y1)、B(x2,y2)都在某函数图象上,且当x1<x2<0时,y1>y2,则此函数一定不是( )
A. B. y=﹣2x+1 C. y=x2﹣1 D.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(﹣4,4),点B的坐标为(0,2).
(1)求直线AB的解析式;
(2)如图,以点A为直角顶点作∠CAD=90°,射线AC交x轴于点C,射线AD交y轴于点D.当∠CAD绕着点A旋转,且点C在x轴的负半轴上,点D在y轴的负半轴上时,OC﹣OD的值是否发生变化?若不变,求出它的值;若变化,求出它的变化范围.
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【题目】如图,直线y1=﹣x+4,y2=x+b都与双曲线y=交于点A(1,m),这两条直线分别与x轴交于B,C两点.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)直接写出当x>0时,不等式x+b>的解集;
(3)若点P在x轴上,连接AP把△ABC的面积分成1:3两部分,求此时点P的坐标.
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【题目】如图,长方形的长为15,宽为10,高为20,点离点的距离为5,蚂蚁如果要沿着长方形的表面从点爬到点,需要爬行的最短距离是( )
A.35B.C.25D.
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【题目】如图,P是⊙O外一点,PA是⊙O的切线,A是切点,B是⊙O上一点,且PA=PB,延长BO分别与⊙O、切线PA相交于C、Q两点.
(1)求证:PB是⊙O的切线;
(2)QD为PB边上的中线,若AQ=4,CQ=2,求QD的值.
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【题目】如图,△ABC内接于⊙O,且AB为⊙O的直径,OD⊥AB,与AC交于点E,∠D=2∠A.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)求证:DE=DC;
(3)若OD=5,CD=3,求AC的长.
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