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【题目】阅读下面材料,并解决问题:

1)如图①等边△ABC内有一点P,若点P到顶点ABC的距离分别为345,求∠APB的度数.

为了解决本题,我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP处,此时△ACP≌△ABP,这样就可以利用旋转变换,将三条线段PAPBPC转化到一个三角形中,从而求出∠APB__________

2)基本运用

请你利用第(1)题的解答思想方法,解答下面问题:

已知如图②,△ABC中,∠CAB90°ABACEFBC上的点且∠EAF45°,求证:EF2BE2+FC2

3)能力提升

如图③,在RtABC中,∠C90°AC1,∠ABC30°,点ORtABC内一点,连接AOBOCO,且∠AOC=∠COB=∠BOA120°,求OA+OB+OC的值.

【答案】(1)150°;(2)EF2BE2+FC2.(3.

【解析】

1)由△ACP′≌△ABP可得旋转角∠PAP′60°,可得△APP′为等边三角形,根据勾股定理逆定理可证明△PP′C为直角三角形,根据∠APB=∠AP′C=∠AP′P+PP′C即可得答案;(2)如图2,把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′,由旋转的性质可得AE′AECE′BE,∠CAE′=∠BAE,∠ACE′=∠B,∠EAE′90°,根据角的和差关系可得∠EAF=∠E′AF,利用SAS可证明△EAF≌△E′AF,可得E′FEF,根据等腰直角三角形的性质可得∠E′CF90°,根据勾股定理即可得结论;(3)如图3,将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处,连接OO′,根据含30°角的直角三角形的性质及勾股定理可求出ABBC的长,根据旋转的性质可得∠A′BC=90°,△BOO′是等边三角形,由∠AOC=∠COB=∠BOA120°,利用平角的定义可证明COA′O′四点共线,利用勾股定理求出AC的长即可得答案.

1)∵△ACP′≌△ABP

AP′AP3CP′BP4、∠AP′C=∠APB

由题意知旋转角∠PAP′60°

∴△APP′为等边三角形,

P′PAP3,∠AP′P60°

PC=PB=4PC=5

PC2=PC2+PP2

∴△PP′C为直角三角形,且∠PP′C90°

∴∠APB=∠AP′C=∠AP′P+PP′C60°+90°150°.

故答案为:150°

2)如图2,把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′

由旋转的性质得,AE′AECE′BE,∠CAE′=∠BAE,∠ACE′=∠B,∠EAE′90°

∵∠EAF45°

∴∠E′AF=∠EAE-EAF=45°

∴∠EAF=∠E′AF

在△EAF和△E′AF中,

∴△EAF≌△E′AFSAS),

E′FEF

∵∠CAB90°ABAC

∴∠B=∠ACB45°

∴∠E′CF45°+45°90°

由勾股定理得,E′F2CE′2+FC2

EF2BE2+FC2

3)如图3,将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处,连接OO′

∵在RtABC中,∠ACB90°AC1,∠ABC30°

AB2

BC

∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°,∠ABC=30°

∴∠A′BC=∠ABC+60°30°+60°90°

∵∠C90°AC1,∠ABC30°

AB2AC2

∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°,得到△A′O′B

A′BAB2BOBO′A′O′AO

∴△BOO′是等边三角形,

BOOO′,∠BOO′=∠BO′O60°

∵∠AOC=∠COB=∠BOA120°

∴∠COB+BOO′=∠BO′A′+BO′O120°+60°180°

COA′O′四点共线,

RtA′BC中,A′C

OA+OB+OCA′O′+OO′+OCA′C

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