Question

定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b的距离．已知O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m+4，n）是平面直角坐标系中四点．
（1）根据上述定义，当m=2，n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距离（即线段AB长）是

 

；当m=5，n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离（即线段AB长）为

 

；
（2）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段BC与线段OA的距离记为d，
①求d关于m的函数解析式．
②已知线段BC的中点为M，是否存在点B，使△ABM为等边三角形？若存在，求出B点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）理解新定义，按照新定义的要求求出距离；得出AB的长即可．
（2）①如图2所示，当点B落在⊙A上时，m的取值范围为2≤m≤6，当4≤m≤6，显然线段BC与线段OA的距离等于⊙A半径，即d=2；当2≤m＜4时，作BN⊥x轴于点N，线段BC与线段OA的距离等于BN长．
②B，M在圆上且BM=2时，△ABM为等边三角形，可求出点B的坐标，再用点B关于x轴的对称点B′也满足△ABM为等边三角形即可求解．

解答：解：（1）当m=2，n=2时，
如图1，线段BC与线段OA的距离等于平行线之间的距离，即为2；
当m=5，n=2时，B点坐标为（5，2），线段BC与线段OA的距离，即为线段AB的长，
如图2，过点B作BN⊥x轴于点N，则AN=1，BN=2

在Rt△ABN中，由勾股定理得：AB=

AN2+BN2

=

12+22

=

5

．
故答案为：2，

5

．
（2）①如图3所示，当点B落在⊙A上时，m的取值范围为：2≤m≤6，

当4≤m≤6，显然线段BC与线段OA的距离等于⊙A半径，即d=2；
当2≤m＜4时，作BN⊥x轴于点N，线段BC与线段OA的距离等于BN长，
ON=m，AN=OA-ON=4-m，在Rt△ABN中，由勾股定理得：
故d=

AB2-AE2

=

22-(4-m)2

=

-m2+8m-12

（2≤m＜4）．
②如图，作BQ⊥x轴，交x轴于点Q，

当BM=2时，△ABM为等边三角形，
∴∠ABM=60°，
∴AQ=1，BQ=

3

，
∴OQ=OA-AQ=4-1=3，
∴点B（3，

3

），
点B关于x轴的对称点B′也满足△ABM为等边三角形，故B′（3，-

3

），
综上所述点B的坐标为（3，

3

）或（3，-

3

）．

点评：本题考查了圆的相关性质、点的坐标、勾股定理等重要知识点，根据新定义得出线段之间距离是解决本题的关键．