Question

【题目】新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．

（1）初步尝试：如图1，已知等腰直角△ABC，∠ACB=90°，请用直尺和圆规将它分成两个三角形，使它们成为偏等积三角形，请保留作图痕迹．

（2）理解运用：请在图2的方格纸中，画两个面积为2的三角形，使这两个三角形是偏等积三角形．

（3）综合应用：如图3，已知△ACD为直角三角形，∠ADC=90°，以AC，AD为腰向外作等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE，∠CAB=∠DAE=90°，连结BE，求证：△ACD与△ABE为偏等积三角形．

Answer 1

【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）证明见解析.

【解析】

（1）尺规作图找出AC的中点D，连结BD，则△BAD和△BCD为偏等积三角形．

（2）利用“友好三角形”的定义得出，△ABC与△DEF为“友好三角形”．

（3）过点B作BH⊥AE，垂足为H，先证明△ABH≌△ACD，则CD=HB．，依据三角形的面积公式可知S△ABE=S△CDA，然后再依据偏等积三角形的定义进行证明即可．

（1）如图1所示，△ABD和△BCD是偏等积三角形；

（2）如图2所示，△ABC和△DEF是偏等积三角形；

（3）如图3所示：过点B作BH⊥AE，垂足为H．

∵等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE，∠CAB=∠DAE=90°，

∴∠HAC+∠DAC=90°，∠BAH+∠HAC=90°．

∴∠BAH=∠DAC．

在△ABH和△ACD中

∵，

∴△ABH≌△ACD（AAS），

∴BH=CD，

∵S△ABE=BHAE，S△ACD=ADCD，

∵AE=AD，CD=BH，

∴S△ABE=S△ACD，

又由图知，这两个三角形不全等，

∴△ACD与△ABE为偏等积三角形．