如图.在平面直角坐标系中.点A.以OA为直径在第一象限内作半圆.B为半圆上一点.连接AB并延长至C.使BC=AB.过C作CD ⊥ x轴于点D,交线段OB于点E.已知CD=8,抛物线经过O.E.A三点. (1) ∠OBA= °． (2) 求抛物线的函数表达式. (3) 若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点.以P.O.A.E为顶点的四边形面积记作S.则S取何值时.相应的点P有� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆，B为半圆上一点，连接AB并延长至C，使BC=AB，过C作CD ⊥ x轴于点D,交线段OB于点E，已知CD=8,抛物线经过O、E、A三点。

（1） ∠OBA= °．

（2）求抛物线的函数表达式。

（3）若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以P、O、A、E为顶点的四边形面积记作S，则S取何值时，相应的点P有且只有3个？

(1)∠OBA=90°

(2)连接OC，如图所示，

∵由(1)知OB ⊥ AC，又AB=BC，

∴OB是的垂直平分线，

∴OC=OA=10，

在Rt△OCD中，OC=10，CD=8，∴OD=6，

∴C(6，8)，B(8，4)

∴OB所在直线的函数关系为y=x，

又E点的横坐标为6，∴E点纵坐标为3

即E(6,3)．

抛物线过O(0，0)，E(6,3) ，A(10，0)

∴设此抛物线的函数关系式为y=ax(x－10)，把E点坐标代入得

3=6a(6－10)，解得a=－

∴此抛物线的函数关系式为y=－x(x－10)，即y=－x²＋x．

(4) 设点P(p，－p²＋p)

① 若点P在CD的左侧，延长OP交CD于Q，如右图，

OP所在直线函数关系式为：y=(－p＋)x

∴当x=6时，y=，即Q点纵坐标为，

∴QE=－3=，

S_{四边形POAE}

= S_△OAE ＋S_△OPE

= S_△OAE ＋S_△OQE－S_△PQE

= · OA ·DE ＋ · QE · P_x

=×10×3＋ ·()· p

② 若点P在CD的右侧，延长AP交CD于Q，如右图，

P(p，－p²＋p)，A(10,0)

∴设AP所在直线方程为：y=kx＋b，把P和A坐标代入得，

，解得，

∴AP所在直线方程为：y=x＋，

∴当x=6时，y=· 6＋=P，即Q点纵坐标为P，

∴QE=P－3，

∴S_{四边形POAE}

= S_△OAE ＋S_△APE

= S_△OAE ＋S_△AQE －S_△PQE

= ·OA ·DE ＋ · QE·DA－ · QE·(P_x－6)

=×10×3＋ · QE ·(DA－P_x ＋6)

=15＋ ·(p－3)·(10－p)

∴当P在CD右侧时，四边形POAE的面积最大值为16，此时点P的位置就一个，

令=16，解得，p=3 ± ，

∴当P在CD左侧时，四边形POAE的面积等于16的对应P的位置有两个，

综上知，以P、O、A、E为顶点的四边形面积S等于16时，相应的点P有且只有3个．

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