Question

19．已知二次函数y=ax²+bx+c（其中a＞0，b＞0，c＜0），关于这个二次函数的图象有如下说法：
①图象的开口一定向上；
②图象的顶点一定在第四象限；
③图象与x轴的交点至少有一个在y轴的右侧；
④方程ax²+bx=0一定有两个不相等的实数根．
以上说法正确的个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由a、b、c的符号可判断开口方程，对称轴，顶点坐标，再结合一元二次方程根与系数的关系逐项判断，可得出答案．

解答 解：∵a＞0，
∴二次函数图象开口向上，
故①正确；
∵a＞0，b＞0，c＜0，
∴-$\frac{b}{2a}$＜0，$\frac{4ac-{b}^{2}}{4ac}$＜0，
∴其顶点坐标一定在第三象限，
故②不正确；
在y=ax²+bx+c中，令y=0可得ax²+bx+c=0，
设该方程的两根分别为x₁和x₂，
由根与系数的关系可知x₁x₂=$\frac{c}{a}$＜0，
∴x₁和x₂中必有一个为正值，
∴二次函数图象与x轴的交点至少有一个在y轴的右侧；
故③正确；
∵ax²+bx=x（ax+b）=0，
∴方程的两根为x=0或x=-$\frac{b}{a}$，
∴b≠0，
∴-$\frac{b}{a}$≠0，
∴方程ax²+bx=0有两个不相等的实数根，
故④正确；
综上可知正确的有3个，
故选C．

点评 本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向、对称轴方程、顶点坐标以及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．