Question

【题目】（10分）问题：如图（1），在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=CB，∠DCE=45°，试探究AD、DE、EB满足的等量关系．

[探究发现]

小聪同学利用图形变换，将△CAD绕点C逆时针旋转90°得到△CBH，连接EH，由已知条件易得∠EBH=90°，∠ECH=∠ECB+∠BCH=∠ECB+∠ACD=45°．根据“边角边”，可证△CEH≌ ，得EH=ED．

在Rt△HBE中，由 定理，可得BH2+EB2=EH2，由BH=AD，可得AD、DE、EB之间的等量关系是 ．

[实践运用]

（1）如图（2），在正方形ABCD中，△AEF的顶点E、F分别在BC、CD边上，高AG与正方形的边长相等，求∠EAF的度数；

（2）在（1）条件下，连接BD，分别交AE、AF于点M、N，若BE=2，DF=3，BM=2，运用小聪同学探究的结论，求正方形的边长及MN的长.

Answer 1

【答案】△CDE；勾股；；45°；MN=．

【解析】

试题（1）由正方形的性质和全等三角形的判定方法可证明Rt△ABE≌Rt△AGE和Rt△ADF≌Rt△AGF，由全等三角形的性质即可求出∠EAF的度数；

（2）由（1）知，Rt△ABE≌Rt△AGE，Rt△ADF≌Rt△AGF，设AG=x，则CE=x﹣2，CF=x﹣3．因为，得到．解这个方程，求出x的值即可得到AG=6，在（2）中，MN2=MB2+ND2，MN=a，，求出a的值．即可求出MN的长．

试题解析：根据“边角边”，可证△CEH≌△CDE，得EH=ED，在Rt△HBE中，由勾股定理，可得，由BH=AD，可得AD、DE、EB之间的等量关系是；故答案为：△CDE；勾股；；

（1）在Rt△ABE和Rt△AGE中，∵AB=AG，AE=AE，∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），∴∠BAE=∠GAE，同理，Rt△ADF≌Rt△AGF，∴∠GAF=∠DAF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，∴∠EAF=∠BAD=45°；

（2）由（1）知，Rt△ABE≌Rt△AGE，Rt△ADF≌Rt△AGF，∴BE=EG=2，DF=FG=3，则EF=5，设AG=x，则CE=x﹣2，CF=x﹣3，∵，∴，解这个方程，得x=6或x=﹣1（舍去），∴AG=6，∴BD===，∴AB=6，∵，设MN=a，则，所以a=，即MN=．