Question

【题目】关于x的一元二次方程（m+1）x2+2（m+1）x+2＝0有两个相等的实数根，抛物线y＝﹣x2+（m+1）x+3与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴相交于点C，抛物线的顶点为D．

（1）求抛物线的解析式．

（2）如图1，设抛物线的对轴交x轴于点E，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使P点到x轴的距离等于P点到直线BD的距离？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

（3）如图2，作CF⊥DE于F，M为射线EA上一动点．如果在线段EF上恰好存在两个点N满足△CFN与△NEM相似，求M点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3．（2）当点P坐标为（2，﹣1）或（2，﹣﹣1）时，P点到x轴的距离等于P点到直线BD的距离．（3）

【解析】

（1）利用根的判别式列式求解即可.（2）由题意可知，点P在∠DBE及其外角的角平分线上，则角平分线与对称轴的交点，即为点P的位置，利用勾股定理求解即可.（3）当以CM为直径的⊙K与EF相切时，恰好存在两个点N，使得△MNE和△CFN相似，由此确定M的位置，设EM＝a，连接KN，则KN是梯形CFEM的中位线，则KN＝，CM＝1+a，在Rt△CMO中，利用勾股定理列方程求解即可.

解：（1）∵一元二次方程（m+1）x2+2（m+1）x+2＝0有两个相等的实数根，

∴△＝0且m+1≠0，

∴4（m+1）2﹣4（m+1）×2＝0，

解得m＝±1，

∵m≠﹣1，

∴m＝1，

∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3．

（2）存在．如图1中，

①当P在x轴上方时，作PM⊥BD，设PM＝PE＝m，

由题意可知A（﹣1，0），B（3，0），D（1，4），

∴DE＝4，BE＝2，BD＝＝＝2，

在Rt△PDM中，∵PD2＝DM2＝PM2，

∴（4﹣m）2＝（2﹣2）2+m2，

解得m＝﹣1，

∴此时点P坐标（2，﹣1）．

②当P′在x轴下方时，作P′N⊥BD于N．设P′N＝P′E＝m，

在Rt△DP′N中，∵P′D2＝DN2+P′N2，

∴（4+m）2＝（2+2）2+m2，

解得m＝+1，

∴此时点P′坐标（2，﹣﹣1）．

综上所述，当点P坐标为（2，﹣1）或（2，﹣﹣1）时，P点到x轴的距离等于P点到直线BD的距离．

（3）如图2中，当以CM为直径的⊙K与EF相切时，恰好存在两个点N，使得△MNE和△CFN相似．

①设切点为N，则∠CNM＝90°，

∵∠CFN＝∠MEN＝90°，

∴∠MNE+∠CNF＝90°，∠CNF+∠NCF＝90°，

∴∠MNE＝∠NCF，

∴△MNE∽△NCF．

②作C关于直线DE的对称点C′，连接MC′交DE于N′，

∵∠CN′F＝∠C′N′F＝∠MN′E，∠CFN′＝∠MEN′＝90°，

∴△N′ME∽△N′CF．

∴当以CM为直径的⊙K与EF相切时，恰好存在两个点N，使得△MNE和△CFN相似，

设EM＝a，连接KN，则KN是梯形CFEM的中位线，

∴KN＝，CM＝1+a，

在Rt△CMO中，∵CM2＝CO2+OM2，

∴（1+a）2＝（a﹣1）2＝32，

解得a＝，

∴OM＝EM﹣OE＝﹣1＝，

∴点M坐标为（﹣，0）．