Question

【题目】点A（m，n）为直线y=-x+4上一动点，且满足-4<m<4，将O点绕点B 逆时针旋转90°得点C，连接AC，则线段AC长度的取值范围是____________.

Answer 1

【答案】2≤AC＜10．

【解析】

首先证明点A在运动过程中，△ABC的形状相同，推出AB的值最大时，AC的值最大，AB的值最小时，AC的值最小，结合图形分别求出AB的最大值，最小值即可解决问题.

如图1中，

∵A（m，n），

∴点A关于原点对称点A′（-m，-n），

∴OA′的中点B（-，-）；

∴OA=2OB=2BC，

∴tan∠CAB=，

∴点A在运动过程中，△ABC的形状相同，

∴AB的值最大时，AC的值最大，AB的值最小时，AC的值最小，

当点A的坐标为（-4，8）时，AB的值最大，

此时B（2，-4），

∴AB=，

∴BC=AB=2，

∴AC=．

如图2中，当直线AB⊥直线y=-x+4时，AB的值最小，此时直线AB的解析式为y=x，

由，

解得，

∴A（2，2），B（-1，-1），

∴AB=，

∴BC=AB=，

∴AC=，

综上所述，线段AC长度的取值范围是2≤AC＜10，

故答案为2≤AC＜10．