Question

【题目】感知：如图①，在正方形中，是一点，是延长线上一点，且，求证：；

拓展：在图①中，若在，且，则成立吗？为什么？

运用：如图②在四边形中，，，，是上一点，且，，求的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）GE=BE+GD成立，理由见解析；（3）

【解析】

（1）利用已知条件，可证出△BCE≌△DCF(SAS)，即可得到CE=CF；

（2）借助（1）的结论得出∠BCE=∠DCF，再通过角的计算得出∠GCF=∠GCE，由SAS可得△ECG≌△FCG，则EG=GF，从而得出GE=DF+GD=BE+GD；

（3）过C作CG⊥AD，交AD延长线于G，先证四边形ABCG是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形)，再设DE=x，利用（1）、（2）的结论，在Rt△AED中利用勾股定理构造方程即可求出DE．

（1）证明：如图①，在正方形ABCD中，BC=CD，∠B=∠ADC=90°，

∴∠CDF=90°，即∠B=∠CDF =90°，

在△BCE和△DCF中，

，

∴△BCE≌△DCF(SAS)，

∴CE=CF；

（2）解：如图①，GE=BE+GD成立，理由如下：

由（1）得△BCE≌△DCF，

∴∠BCE=∠DCF，

∴∠ECD+∠ECB=∠ECD+∠FCD，

即∠ECF=∠BCD=90°，

又∵∠GCE=45°，

∴∠GCF=∠ECF∠ECG=45°，则∠GCF=∠GCE，

在△GEC和△GFC中，

，

∴△GEC≌△GFC(SAS)，

∴EG=GF，

∴GE=DF+GD=BE+GD；

（3）解：如图②，过C作CG⊥AD于G，

∴∠CGA=90°，

在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠B=90°，

∴四边形ABCG为矩形，

又∵AB=BC，

∴四边形ABCG为正方形，

∴AG=BC=AB=16，

∵∠DCE=45°，由（1）和（2）的结论可得：ED=BE+DG，

设DE=x，

∵，

∴AE=12，DG=x4，

∴AD=AGDG=20x

在Rt△AED中，

由勾股定理得：DE2=AD2+AE2，

即x2=(20x)2+122

解得：，

即．