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【题目】如图所示,矩形中,,点上,.动点分别从点同时出发,沿射线、线段向点的方向运动(点可运动到的延长线上),当动点运动到点时,两点同时停止运动.联结,过三边的中点作.设动点的速度都是1个单位/秒,运动的时间为.试解答下列问题:

1)说明

2)设,试问为何值时,为直角三角形?

3)试用含的代数式表示,并求当为何值时,最小?求此时的值.

【答案】1)见解析;(2)当时,为直角三角形;(3)当时, 的值最小,;当时,的值也最小,.

【解析】

1)由根据题意可知PWQ分别是△FMN三边的中点,可得PW是△FMN的中位线,然后即可证明△FMN∽△QWP

2)由(1)得,△FMN∽△QWP,当△QWP为直角三角形时,△FMN为直角三角形,根据DMBNxAN6xAM4x,利用勾股定理求得FM24x2MN2=(4x2+(6x2FN2=(4x216,然后分①当MN2FM2FN2时,②当FN2FM2MN2时,③FM2MN2FN2时三种情况讨论即可.

3)根据①当0x4,即MDA运动时,MNANAN6x,故只有当x4时,MN的值最小即可求得答案,②当4x6时,MN2AM2AN2=(x42+(6x2,解得x即可.

(1)由题意可知分别是三边的中点,

的中位线,即

同理.

同理.

2)由(1)得,

故当为直角三角形时,为直角三角形,

反之亦然.

由题意可得

由勾股定理分别得.

过点NNKCDK

CKBNx

CFCDDF624

FK4x

FN2NK2FK2=(4x216

MN2FM2FN2时,(4x2+(6x24x2+(4x216

解得x

时,

此方程无实数根.

时,

解得(不合题意,舍去),

综上,当时,为直角三角形

3,即运动时,

故只有当时,的最小值,的值也最小,

此时

时,

取得最小值2

时,的值最小,此时.

综上:当时, 的值最小,;当时,的值也最小,.

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