【题目】如图所示,矩形中,,,点在上,.动点、分别从点、同时出发,沿射线、线段向点的方向运动(点可运动到的延长线上),当动点运动到点时,、两点同时停止运动.联结、、,过三边的中点作.设动点、的速度都是1个单位/秒,、运动的时间为秒.试解答下列问题:
(1)说明;
(2)设,试问为何值时,为直角三角形?
(3)试用含的代数式表示,并求当为何值时,最小?求此时的值.
【答案】(1)见解析;(2)当或时,为直角三角形;(3)当时, 的值最小,;当时,的值也最小,.
【解析】
(1)由根据题意可知P、W、Q分别是△FMN三边的中点,可得PW是△FMN的中位线,然后即可证明△FMN∽△QWP;
(2)由(1)得,△FMN∽△QWP,当△QWP为直角三角形时,△FMN为直角三角形,根据DM=BN=x,AN=6x,AM=4x,利用勾股定理求得FM2=4+x2,MN2=(4x)2+(6x)2,FN2=(4x)2+16,然后分①当MN2=FM2+FN2时,②当FN2=FM2+MN2时,③FM2=MN2+FN2时三种情况讨论即可.
(3)根据①当0≤x≤4,即M从D到A运动时,MN≥AN,AN=6x,故只有当x=4时,MN的值最小即可求得答案,②当4<x≤6时,MN2=AM2+AN2=(x4)2+(6x)2,解得x即可.
(1)由题意可知、、分别是三边的中点,
是的中位线,即,
同理,.
,
同理,.
(2)由(1)得,,
故当为直角三角形时,为直角三角形,
反之亦然.
由题意可得,,,
由勾股定理分别得,,.
过点N作NK⊥CD于K,
∴CK=BN=x,
∵CF=CDDF=62=4,
∴FK=4x,
∴FN2=NK2+FK2=(4x)2+16,
①当MN2=FM2+FN2时,(4x)2+(6x)2=4+x2+(4x)2+16,
解得x=,
②当时,,
此方程无实数根.
③时,,
解得(不合题意,舍去),
综上,当或时,为直角三角形
(3)①当,即从到运动时,,,
故只有当时,的最小值,的值也最小,
此时,;
②当时,,
当,取得最小值2,
当时,的值最小,此时.
综上:当时, 的值最小,;当时,的值也最小,.
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【题目】如图,点是中边的中点,于,以为直径的经过,连接,有下列结论:①;②;③;④是的切线.其中正确的结论是( )
A.①②B.①②③C.②③D.①②③④
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【题目】为吸引市民组团去风景区旅游,观光旅行社推出了如下收费标准:
某单位员工去风景区旅游,共支付给旅行社旅游费用10500元,请问该单位这次共有多少员工去风景区旅游?
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【题目】如图,C地在B地的正东方向,因有大山阻隔,由B地到C地需绕行A地,已知A地位于B地北偏东53°方向,距离B地516千米,C地位于A地南偏东45°方向.现打算打通穿山隧道,建成两地直达高铁,求建成高铁后从B地前往C地的路程.(结果精确到1千米)(参考数据:sin53°=,cos53°=,tan53°=)
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【题目】如图,△ABC是等边三角形,点D在AC边上,将△BCD绕点C旋转得到△ACE.
(1)求证:DE∥BC.
(2)若AB=8,BD=7,求△ADE的周长.
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【题目】如图1,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,连接CB,过C作CD⊥AB于点D,过点C作∠BCE,使∠BCE=∠BCD,其中CE交AB的延长线于点E.
(1)求证:CE是⊙O的切线.
(2)如图2,点F在⊙O上,且满足∠FCE=2∠ABC,连接AF井延长交EC的延长线于点G.
①试探究线段CF与CD之间满足的数量关系;
②若CD=4,BD=2,求线段FG的长.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,C是⊙0上的一点,直线MN经过点C,过点A作直线MN的垂线,垂足为点D,且∠BAC=∠DAC
(1)猜想直线MN与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若CD=6,cos∠ACD=,求⊙O的半径.
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【题目】已知AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于H,过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F,切点为G,连接AG交CD于K.
(1)如图1,求证:KE=GE;
(2)如图2,连接CABG,若∠FGB=∠ACH,求证:CA∥FE;
(3)如图3,在(2)的条件下,连接CG交AB于点N,若sinE=,AK=,求CN的长.
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【题目】直线与x轴、y轴分别交于点A、B,抛物线经过点A,将点B向右平移5个单位长度,得到点C,若抛物线与线段BC恰有一个公共点,则的取值范围是____.
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