Question

10．某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表．已知购进60双甲种运动鞋与50双乙种运动鞋共用10000元

运动鞋价格	甲	乙
进价（元/双）	m	m-20
售价（元/双）	240	160

（1）求m的值；
（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润=售价-进价）超过21000元，且不超过22000元，问该专卖店有几种进货方案？
（3）在（2）的条件下，专卖店准备决定对甲种运动鞋每双优惠a（50＜a＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？

Answer 1

分析 （1）根据“购进60双甲种运动鞋与50双乙种运动鞋共用10000元”列出方程并解答；
（2）设购进甲种运动鞋x双，表示出乙种运动鞋（200-x）双，然后根据总利润列出一元一次不等式，求出不等式组的解集后，再根据鞋的双数是正整数解答；
（3）设总利润为W，根据总利润等于两种鞋的利润之和列式整理，然后根据一次函数的增减性分情况讨论求解即可．

解答 解：（1）依题意得：60m+50（m-20）=10000，
解得m=100；

（2）设购进甲种运动鞋x双，则乙种运动鞋（200-x）双，
根据题意得，$\left\{\begin{array}{l}{（240-100）x+（160-80）（200-x）＞21000①\\}\\{（240-100）x+（160-80）（200-x）≤22000②}\end{array}\right.$，
解不等式①得，x＞$\frac{250}{3}$，
解不等式②得，x≤100，
所以，不等式组的解集是$\frac{250}{3}$＜x≤100，
∵x是正整数，100-84+1=17，
∴共有17种方案；

（3）设总利润为W，则W=（240-100-a）x+80（200-x）=（60-a）x+16000（$\frac{250}{3}$＜x≤100），
①当50＜a＜60时，60-a＞0，W随x的增大而增大，
所以，当x=100时，W有最大值，
即此时应购进甲种运动鞋100双，购进乙种运动鞋100双；
②当a=60时，60-a=0，W=16000，（2）中所有方案获利都一样；
③当60＜a＜70时，60-a＜0，W随x的增大而减小，
所以，当x=84时，W有最大值，
即此时应购进甲种运动鞋84双，购进乙种运动鞋116双．

点评 本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系，（3）要根据一次项系数的情况分情况讨论．