Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°．

（1）若AD=2，求AB；

（2）若AB+CD=2+2，求AB．

Answer 1

【答案】（1）AB=；（2）AB=+1.

【解析】试题分析：（1）根据∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°，得到∠BDF=∠ADC﹣∠ADB=165°﹣105°=60°，△ADE与△BCF为等腰直角三角形，即可求出AE的长，利用锐角三角函数可求得BE的长，从而得到AB的长；

（2）设DE=x，利用（1）的某些结论，特殊角的三角函数和勾股定理，表示AB，CD，即可得到答案．

（1）过A点作DE⊥AB，过点B作BF⊥CD，∵∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°，∴∠ADC=360°﹣∠A﹣∠C﹣∠ABC=360°﹣45°﹣45°﹣105°=165°，∴∠BDF=∠ADC﹣∠ADB=165°﹣105°=60°，△ADE与△BCF为等腰直角三角形，∵AD=2，∴AE=DE==，∵∠ABC=105°，∴∠ABD=105°﹣45°﹣30°=30°，∴BE===，∴AB=；

（2）设DE=x，则AE=x，BE===，∴BD==2x，∵∠BDF=60°，∴∠DBF=30°，∴DF=BD=x，∴BF===，∴CF=，∵AB=AE+BE=，CD=DF+CF=，AB+CD=，∴AB=．