Question

在一次数学课上，李老师出示一道题目：

如图，在△ABC中，AC=BC，AD=BD，∠A=30°，在线段AB上求作两点P，Q，使AP=CP=CQ=BQ．

明明作法：分别作∠ACD和∠BCD的平分线，交AB于点P，Q．点P，Q就是所求作的点．

晓晓作法：分别作AC和BC的垂直平分线，交AB于点P，Q．点P，Q就是所求作的点．

你认为明明和晓晓作法正确的是（　　）

A．明明 B．晓晓  C．两人都正确     D．两人都错误

　

Answer 1

C【考点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．

【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B=∠A=30°，CD⊥AB，由三角形的内角和得到∠ACD=∠BCD=60°，

明明作法：如图1，根据角平分线的定义得到∠ACP=∠BCQ=30°，求得∠A=∠ACP，∠B=∠BCQ，由等腰三角形的判定得到AP=PC，BQ=CQ，根据全等三角形的性质得到AP=BQ，于是得到AP=CP=CQ=BQ；故明明作法正确；

晓晓作法：如图2，根据线段垂直平分线的性质得到AP=PC，BQ=CQ，推出△APC≌△BCQ，根据全等三角形的性质得到AP=BQ，求得AP=CP=CQ=BQ，于是得到晓晓作法正确．

【解答】解：∵AC=BC，AD=BD，

∴∠B=∠A=30°，CD⊥AB，

∴∠ACD=∠BCD=60°，

明明作法：如图1，

∵CP平分∠ACD，CQ平分∠BCD，

∴∠ACP=∠BCQ=30°，

∴∠A=∠ACP，∠B=∠BCQ，

∴AP=PC，BQ=CQ，

在△ACP与△BCQ中，，

∴△APC≌△BCQ，

∴AP=BQ，

∴AP=CP=CQ=BQ；

∴明明作法正确；

晓晓作法：如图2，

∵分别作AC和BC的垂直平分线，交AB于点P，Q，

∴AP=PC，BQ=CQ，在△ACP与△BCQ中，，

∴△APC≌△BCQ，

∴AP=BQ，

∴AP=CP=CQ=BQ，

∴晓晓作法正确，

故选C．

【点评】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的画出图形是解题的关键．