Question

如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，D、E分别为OA与BC的中点，连接DE．已知∠ABC=3∠ODE，∠ACB=5∠ODE，求∠OCE的度数．

Answer 1

考点：圆周角定理

专题：

分析：首先设∠ODE=x°，则∠ABC=3∠ODE=3x°，∠ACB=5∠ODE=5x°，利用三角形内角和定理，可求得∠BAC，又由E是BC的中点，求得∠EOC=∠BAC，由圆周角定理可求得∠AOC，继而可得∠ODE=∠OED，则可得OE=OD=

1

2

OA=

1

2

OC，继而求得答案．

解答：解：设∠ODE=x°，
则∠ABC=3∠ODE=3x°，∠ACB=5∠ODE=5x°，
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-8x°，
∵E是BC的中点，
∴∠COE=

1

2

∠BOC，OE⊥BC，
∵∠BOC=2∠BAC，
∴∠COE=∠BAC=180°-8x°，
∵∠AOC=2∠ABC=6x°，
∴∠AOE=∠AOC+∠COE=180°-2x°，
∴∠ODE=180°-∠OED-∠AOE=180°-x°-（180°-2x°）=x°，
∴∠ODE=∠OED，
∴OE=OD=

1

2

OA=

1

2

OC，
∴∠OCE=30°．

点评：此题考查了圆周角定理以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．