Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，OD⊥弦BC于点F，交⊙O于点E，连接CE，AE，CD，若∠AEC＝∠ODC．

（1）求证：直线CD为⊙O的切线；

（2）若AB＝10，BC＝8，则线段CD的长为　 　．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）．

【解析】

(1)利用圆周角定理结合等腰三角形的性质得出∠OCF+∠DCB=90°，即可得出答案；

(2)利用圆周角定理得出∠ACB=90°，利用相似三角形的判定与性质得出DC的长．

(1)证明：连接OC，

∵∠CEA=∠CBA，∠AEC=∠ODC，

∴∠CBA=∠ODC，

又∵∠CFD=∠BFO=90，

∴∠DCB=∠BOF，

∵CO=BO，

∴∠OCF=∠B，

∵∠B+∠BOF=90°，

∴∠OCF+∠DCB=90°，

∴直线CD为⊙O的切线；

(2)解：连接AC，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠DCO=∠ACB=90°，

又∵∠D=∠B

∴△OCD∽△ACB，

∵∠ACB=90°，AB=10，BC=8，

∴AC=6，

∴，即，

解得；DC=，

故答案为：．