Question

12．如图所示，将一边长为3的正方形放置到平面直角坐标系中，其顶点A、B均落在坐标轴上，一抛物线过点A、B，且顶点为P（1，4）
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M为抛物线上一点，恰使△MOA≌△MOB，求点M的坐标；
（3）y轴上是否存在一点N，恰好使得△PNB为直角三角形？若存在，直接写出满足条件的所有点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质可知OA=OB=3，从而得到点A的坐标，设抛物线的解析式为y=a（x-1）²+4，把A（0，3）代入可求得a的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）由全等三角形对应边相等可知MA=BM，从而可知点M在AB的垂直平分线上，故此点M为直线OC与抛物线的交点，然后求得直线OC与抛物线的交点坐标即可；
（3）设N（0，t）．分为∠PNB=90、∠NPB=90°、∠PBN=90°三种情况画出图形，然后依据相似三角形对应边成比例列出关于t的方程求解即可．

解答 解：（1）∵正方形的边长为3，
∴A（0，3），B（3，0）．
设抛物线的解析式为y=a（x-1）²+4．
∵把A（0，3）代入得：a+4=3，解得a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-（x-1）²+4=-x²+2x+3．
（2）如图1所示：

∵△MOA≌△MOB，
∴AM=BM．
∴点M在AB的垂直平分线上．
∵OACB为正方形，
∴OC为AB的垂直平分线．
设OC的解析式为y=kx，
∵将C（3，3）代入得：3k=3，解得：k=1，
∴直线OC的解析式为y=x．
由y=x与y=-x²+2x+3得：x=-x²+2x+3，解得：x₁=$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$，x₂=$\frac{1-\sqrt{13}}{2}$．
∴M（$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$），M′（$\frac{1-\sqrt{13}}{2}$，$\frac{1-\sqrt{13}}{2}$）．
∴点M的坐标为（$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$）或（$\frac{1-\sqrt{13}}{2}$，$\frac{1-\sqrt{13}}{2}$）．
（3）设N（0，t）．
①当∠PNB=90时，如图2所示．连接PN、BN，过点P作PM⊥y轴，垂足为M．

由△PMN∽△NOB，得：$\frac{1}{t}=\frac{4-t}{3}$，解得：t₁=1，t₂=3．
②当∠NPB=90°时．
如图3所示；连接PN、BN，过点P作x轴的平行线，交BC延长线与点M．

由△PMN∽△NOB，得：$\frac{1}{4}=\frac{4-t}{2}$，解得：t=$\frac{7}{2}$．
③当∠PBN=90°时，如图4所示，过点P作x轴的平行线，交BC延长线与点M．

由△PMB∽△NOB得：$\frac{2}{-t}=\frac{4}{3}$，解得：t=-$\frac{3}{2}$．
综上所述，点N的坐标为（0，1）、（0，3）、（0，$\frac{7}{2}$）、（0，-$\frac{3}{2}$）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题需要熟练掌握待定系数法求函数解析式的步骤和方法、二次函数表达式的三种基本形式、相似三角形的性质、正方形的性质，分类讨论是解题的关键．