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【题目】对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙M,给出如下定义:若⊙M上存在两个点AB,使AB=2PM,则称点P为⊙M美好点”.

(1)当⊙M半径为2,点M和点O重合时,

①点P1(-20)P2(11)P3(22)中,⊙O美好点______

②点P为直线y=x+b上一动点,点P为⊙O美好点,求b的取值范围;

(2)M为直线y=x上一动点,以2为半径作⊙M,点P为直线y=4上一动点,点P为⊙M美好点,求点M的横坐标m的取值范围.

【答案】(1)P1P2;②(2)2≤m≤6.

【解析】

利用圆的性质,圆的切线定理可依次推导出.

解:(1)①因为

则有当AB最长为直径时,“美好点”在圆周上;

当AB小于直径时,2PM<直径,“美好点”在圆内.

所以点P的轨迹在圆内部和圆周上.

P1(-2,0)在圆上,P2(1,1)在圆内; P3(2,2)在圆外,所以选P1P2.

②当直线与⊙O相切时,直线与X轴正向夹角为45°.

如图:直线与圆相切,则有

.

(2) 因为点M为直线上一动点, 点P作为⊙M美好点又是直线上一动点,

直线 可以得到直线与X轴正向夹角为45°.

M半径为2,考虑临界情况: ⊙M相切

∴当直线y=4与⊙M相切时,则有

M1 下方,此时M1横坐标即为2

M2 上方, M2的横坐标为2+4=6.

.

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