Question

已知在⊙O中，C，D是直径AB上的点，AC=BD，MC⊥AB，ND⊥AB，M，N在圆O上，求证：

AM

=

BN

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,圆心角、弧、弦的关系

专题：分类讨论

分析：根据全等三角形的判定与性质，可得CM与DN的关系，根据SAS，可得Rt△ACM和Rt△BDN的关系，根据全等三角形的性质，可得AM与DN的关系，在同圆或等圆中，根据等弦所对的弧相等，可得答案．

解答：证明：如图：
，
∵AC=BD，O是圆心，
∴OC=OD．
MC⊥AB，ND⊥AB，
∴∠ACM=∠NDB=90°．
在Rt△OCM和Rt△ODN中，

OM=ON OC=OD

，
∴Rt△OCM≌Rt△ODN（HL），
∴MC=ND．
在Rt△ACM和Rt△BDN中，

AC=BD ∠ACM=∠BDN MC=ND

，
∴Rt△ACM≌Rt△BDN（SAS），
∴AM=BN，

AM

=

BN

．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，在同圆或等圆中等弦所对的弧相等．