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【题目】如图,在正方形外取一点,连接.过点的垂线交于点,连接.,下列结论:①;②;③点到直线的距离为;④,其中正确的结论有_____________(填序号)

【答案】①②④

【解析】

①利用同角的余角相等,易得∠EAB=PAD,再结合已知条件利用SAS可证两三角形全等;
②利用①中的全等,可得∠APD=AEB,结合三角形的外角的性质,易得∠BEP=90°,即可证;
③过BBFAE,交AE的延长线于F,利用③中的∠BEP=90°,利用勾股定理可求BE,结合AEP是等腰直角三角形,可证BEF是等腰直角三角形,再利用勾股定理可求EFBF
④连接BD,求出ABD的面积,然后减去BDP的面积即可。

解:

①∵∠EAB+BAP=90°,∠PAD+BAP=90°
∴∠EAB=PAD
又∵AE=APAB=AD
∵在APDAEB中,

∴△APD≌△AEBSAS);
故此选项成立;
②∵△APD≌△AEB
∴∠APD=AEB
∵∠AEB=AEP+BEP,∠APD=AEP+PAE
∴∠BEP=PAE=90°
EBED
故此选项成立;
③过BBFAE,交AE的延长线于F
AE=AP,∠EAP=90°
∴∠AEP=APE=45°
又∵③中EBEDBFAF
∴∠FEB=FBE=45°

∴点B到直线AE的距离为

故此选项不正确;
④如图,连接BD

RtAEP中,
AE=AP=1

∵△APD≌△AEB

= S正方形ABCD

故此选项正确.
∴正确的有①②④,

故答案为:①②④

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(注:一个方格中只画一种情况,给出的备用图不一定全用,不够可添加)

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