Question

【题目】如图，在中，弦AB，CD相交于点E，＝，点D在上，连结CO，并延长CO交线段AB于点F，连接OA，OB，且OA＝2，∠OBA＝30°

（1）求证：∠OBA＝∠OCD；

（2）当AOF是直角三角形时，求EF的长；

（3）是否存在点F，使得，若存在，请求出EF的长，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）或；（3）

【解析】

（1）根据在“同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”可得；（2）分两种情况讨论，当时，解直角三角形AFO可求得AF和OF的长，再解直角三角形EFC可得；当时，解直角三角形AFO可求得AF和OF的长，根据三角函数求解；（3）由边边边定理可证，再证，根据对应边成比例求解.

解：（1）延长AO，CO分别交圆于点M，N

为直径

弧AC=弧BD

弧CD=弧AB

（2）①当时

②当时

，

，，

综上所述: 或

(3)连结,过点分别作于点，于点

弧AC=弧BD

弧CD=弧AB

∴

∴

∵

∴

∵

∴

∴

∵

∴

∵

∴

∵

∴

∵

∴

∴

∴