Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，AM是外角∠DAC的平分线．

（1）实践与操作：尺规作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法），作线段AC的垂直平分线，与AM交于点F，与BC边交于点E，连接AE．
（2）猜想并证明：∠EAC与∠DAC的数量关系并加以证明．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图所示：

（2）解：猜想：∠EAC= ∠DAC，

理由如下：∵AB=AC

∴∠B=∠C，

∵∠DAC是△ABC的外角

∴∠DAC=∠B+∠C=2∠C，

∵EF垂直平分AC，

∴EA=EC，

∴∠EAC=∠C= ∠DAC

【解析】（1）直接利用线段垂直平分线的作法得出即可；（2）利用等腰三角形的性质结合外角的定义得出∠DAC=∠B+∠C=2∠C，进而利用线段垂直平分线的性质得出答案．
【考点精析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质的相关知识点，需要掌握垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线；线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等；等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）才能正确解答此题．