【题目】阅读下面材料:
在数学课上,老师请同学思考如下问题:如图①,我们把一个四边形的四边中点依次连接起来得到的四边形是平行四边形吗?
小敏在思考问题,有如下思路:连接.
结合小敏的思路作答.
(1)若只改变图①中四边形的形状(如图②),则四边形还是平行四边形吗?说明理由;
(参考小敏思考问题方法)
(2)如图②,在(1)的条件下,若连接.
①当与满足什么条件时,四边形是矩形,写出结论并证明;
②当与满足____时,四边形是正方形.
【答案】(1)是,理由见解析;(2)①AC⊥BD,证明见解析;②AC⊥BD且AC=BD
【解析】
(1)连接AC,根据三角形中位线的性质得到EF∥AC,EF=AC,然后根据平行四边形判定定理即可得到结论;
(2)①根据平行线的性质得到GH⊥BD,GH⊥GF,于是得到∠HGF=90°,根据矩形的判定定理即可得到结论;
②在①基础上,只要证明∠EHG=90°即可;
解:(1)四边形EFGH是平行四边形,理由如下:
如图2,连接AC,
∵E是AB的中点,F是BC的中点,
∴EF∥AC,EF=AC,
同理HG∥AC,HG=AC,
综上可得:EF∥HG,EF=HG,
故四边形EFGH是平行四边形;
(2)①当AC⊥BD时,四边形EFGH为矩形;
理由如下:
同(1)得:四边形EFGH是平行四边形,
∵AC⊥BD,GH∥AC,
∴GH⊥BD,
∵GF∥BD,
∴GH⊥GF,
∴∠HGF=90°,
∴四边形EFGH为矩形;
②结论:当AC⊥BD且AC=BD时,四边形EFGH是正方形.
理由:由①可知,AC=BD,四边形EFGH是菱形,
∵AC⊥BD,AC∥HG,
∴HG⊥BD,
∵EH∥BD,
∴EH⊥HG,
∴∠EHG=90°,
∴四边形EFGH是正方形.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,且BA=9,AC=12,点D是斜边BC上的一个动点,过点D分别作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,点G为四边形DEAF对角线交点,则线段GF的最小值为_______.
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【题目】已知任意一个三角形的三个内角的和是180°,如图1,在ABC中,∠ABC的角平分线BO与∠ACB的角平分线CO的交点为O.
(1)若∠A=70°,求∠BOC的度数;
(2)若∠A=α,求∠BOC的度数;
(3)如图2,若BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的三等分线,也就是∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠ACB,∠A=α,求∠BOC的度数.
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【题目】如图,在菱形ABCD中,AB=BD,点E、F分别在BC、CD上,且BE=CF,连接BF、DE交于点M,延长ED到H使DH=BM,连接AM,AH,则以下四个结论:
①△BDF≌△DCE;②∠BMD=120°;③△AMH是等边三角形;④S四边形ABCD= AM2.
其中正确结论的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】如图,AC是□ABCD的一条对角线,过AC中点O的直线分别交AD,BC于点E,F.
(1)求证:△AOE≌△COF;
(2)若EF与AC垂直,试判断四边形AFCE的形状,并说明理由.
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c经过点(﹣1,0),对称轴l如图所示,则下列结论:①abc>0;②a﹣b+c=0;③2a+c<0;④a+b<0,其中所有正确的结论是( )
A.①③ B.②③ C.②④ D.②③④
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【题目】ABCD中,E是CD边上一点,
(1)将△ADE绕点A按顺时针方向旋转,使AD、AB重合,得到△ABF,如图1所示.观察可知:与DE相等的线段是 ,∠AFB=∠
(2)如图2,正方形ABCD中,P、Q分别是BC、CD边上的点,且∠PAQ=45°,试通过旋转的方式说明:DQ+BP=PQ;
(3)在(2)题中,连接BD分别交AP、AQ于M、N,你还能用旋转的思想说明BM2+DN2=MN2吗?
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【题目】如图,在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AB=6,AC=8,D 为 AC 上一点,将△ABD 沿 BD 折叠,使点 A 恰好落在 BC 上的 E 处,则折痕 BD 的长是( )
A.5B.C.3 D.
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