Question

【题目】如图1，将一张矩形纸ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F．

（1）求证：是等腰三角形；

（2）如图2，过点D作，交BC于点G，连接FG交BD于点O．

①试判断四边形BGDF的形状，并说明理由；

②若，，求FG的长.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）四边形BGDF为菱形；（3），

【解析】

（1）根据两直线平行内错角相等及折叠特性判断；
（2）①根据已知矩形性质及第一问证得邻边相等判断；
②根据折叠特性设未知边，构造勾股定理列方程求解．

（1）证明：如图1，根据折叠，∠DBC=∠DBE，
又AD∥BC，
∴∠DBC=∠ADB，
∴∠DBE=∠ADB，
∴DF=BF

∴是等腰三角形；

（2）①∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴FD∥BG，
又∵DG∥BE，
∴四边形BFDG是平行四边形，
∵DF=BF，
∴四边形BFDG是菱形；
②∵AB=3，AD=4，
∴BD=5．
∴OB=BD=．
假设DF=BF=x，∴AF=AD-DF=4-x．
∴在直角△ABF中，AB2+AF2=BF2，即32+（4-x）2=x2，

解得x=，

即BF=，

∴FO= ,

∴FG=2FO= .