Question

【题目】如图， 中， ， =120°，以为一个顶点的等边三角形绕点A在内旋转， 、所在的直线与边分别交于点、，若点关于直线的对称点为，当是以点为直角顶点的直角三角形时， 的长为__

Answer 1

【答案】

【解析】试题解析：作AH⊥BC于H，如图1，

∵AB=AC=4，∠BAC=120°，

∴∠B=30°，BH=CH，

在Rt△ABH中，AH=AB=2，BH=AH=2，

∴BC=2BH=4，

把△ACG绕点A顺时针旋转120°得到△ABG′，连结FG′、AB′，如图2，则BG′=CG，AG=AG，∠ABG′=∠C=30°，∠1=∠BAG′，

∴∠FBG′=60°，

∵∠FAG=60°，

∴∠1+∠2=60°，

∴∠FAG′=60°，

在△AFG和△AFG′中，

，

∴△AFG≌△AFG′，

∴FG=FG′，

∵点B关于直线AD的对称点为B′，

∴FB=FB′，AB=AB′，∠2=∠3，

而∠3+∠4=60°，∠1+∠2=60°，

∴∠1=∠4，

而AC=AB=AB′，

∴△AB′G与△ACG关于AG对称，

∴GB′=GC，

∴GB′=BG′，

在△FB′G和△FBG′中，

，

∴△FB′G≌△FBG′，

∴∠FGB′=∠BG′F=90°，

在Rt△BFG′中，∵∠FBG′=60°，

∴BG′=BF，FG′=BF，

∴CG=BF，FG=BF，

∴BF+BF+BF=BC=4，

∴BF=4-4．

故答案为4-4．