【题目】对于一个三角形,设其三个内角度数分别为,和,若x,y,z满足,我们定义这个三角形为美好三角形.
(1)△ABC中,若,,则△ABC (填”是”或”不是”)美好三角形;
(2)如图,锐角△ABC是⊙O的内接三角形,,,⊙O直径为,求证:△ABC为美好三角形;
(3)已知△ABC为美好三角形,,求的度数.
【答案】(1)不是;(2)见解析;(3)∠C=78°或72°
【解析】
(1)利用美好三角形的定义得出△ABC的形状进而求出即可;
(2)利用勾股定理的逆定理得出△ABC的形状进而得出答案;
(3)利用美好三角形的定义进而分别得出∠C的度数.
(1)解:∵△ABC中,∠A=40°,∠B=80°,
∴∠C=60°
∵402+602≠802,
∴△ABC不是美好三角形;
故答案为:不是;
(2)证明:连接OA、OC,
∵AC=2,OA=OC=,
∴△OAC是直角三角形,即∠AOC=90°,
∴∠B=45°,
∵∠C=60°,
∴∠A=75°,
∵即三个内角满足关系:452+602=5625=752,
∴△ABC是美好三角形;
(3)解:设∠C=x°,则∠B=(150﹣x)°,
若∠C为最大角,则x2=(150﹣x)2+302,
解得x=78,
若∠B最大角,则(150﹣x)2=x2+302,
解得x=72,
综上可知,∠C=78°或72°
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【题目】阅读与计算,请阅读以下材料,并完成相应的问题.
角平分线分线段成比例定理,如图1,在△ABC中,AD平分∠BAC,则.下面是这个定理的部分证明过程.
证明:如图2,过C作CE∥DA.交BA的延长线于E.…
任务:
(1)请按照上面的证明思路,写出该证明的剩余部分;
(2)如图3,已知Rt△ABC中,AB=3,BC=4,∠ABC=90°,AD平分∠BAC,求△ABD的周长.
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【题目】(10分)在Rt△ABC中,∠BAC=,D是BC的中点,E是AD的中点.过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F.
(1)求证:△AEF≌△DEB;
(2)证明四边形ADCF是菱形;
(3)若AC=4,AB=5,求菱形ADCFD 的面积.
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【题目】已知关于x,y的二元一次方程ax+b=y(a,b为常数且a≠0)
(1)该方程的解有 组;若a=﹣2,b=6,且x,y为非负整数,请直接写出该方程的解;
(2)若和是该方程的两组解,且m1>m2
①若n1﹣n2=2(m2﹣m1),求a的值;
②若m1+m2=3b,n1+n2=ab+4,且b>2,请比较n1和n2大小,并说明理由.
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【题目】如图.在平行四边形纸片ABCD中,AC⊥AB,AC与BD相交于点O,将△ABC沿对角线AC折叠得到△AB'C.
(1)求证:以A、C、D、B'为顶点的四边形是矩形
(2)若四边形ABCD的面积S=12cm,求阴影部分的面积.
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【题目】已知△ABC的一条边BC的长为5,另两边AB,AC的长分别为关于x的一元二次方程的两个实数根。
(1)求证:无论k为何值,方程总有两个不相等的实数根;
(2)当k=2时,请判断△ABC的形状并说明理由;
(3)k为何值时,△ABC是等腰三角形,并求△ABC的周长。
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【题目】在平面直角坐标系中,抛物线与轴的两个交点分别为A(-3,0)、B(1,0),与y轴交于点D(0,3),过顶点C作CH⊥x轴于点H.
(1)求抛物线的解析式和顶点C的坐标;
(2)连结AD、CD,若点E为抛物线上一动点(点E与顶点C不重合),当△ADE与△ACD面积相等时,求点E的坐标;
(3)若点P为抛物线上一动点(点P与顶点C不重合),过点P向CD所在的直线作垂线,垂足为点Q,以P、C、Q为顶点的三角形与△ACH相似时,求点P的坐标.
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【题目】在某次数学活动中,如图有两个可以自由转动的转盘A、B,转盘A被分成四个相同的扇形,分别标有数字1、2、3、4,转盘B被分成三个相同的扇形,分别标有数字5、6、7.若是固定不变,转动转盘(如果指针指在等分线上,那么重新转动,直至指针指在某个扇形区域内为止)
(1)若单独自由转动A盘,当它停止时,指针指向偶数区的概率是 .
(2)小明自由转动A盘,小颖自由转动B盘,当两个转盘停止后,记下各个转盘指针所指区域内对应的数字,请用画树状图或列表法求所得两数之积为10的倍数的概率.
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