Question

【题目】如图.在平行四边形纸片ABCD中，AC⊥AB，AC与BD相交于点O，将△ABC沿对角线AC折叠得到△AB'C.

(1)求证：以A、C、D、B'为顶点的四边形是矩形

(2)若四边形ABCD的面积S=12cm，求阴影部分的面积.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）阴影部分的面积是3.

【解析】

（1）连接B'D，由平行四边形的性质及折叠性质可得AB'=CD，∠BAC=∠B'AC，由AC⊥AB可证明B、A、B'共线，可得AB′//CD，可证明四边形ACDB'为平行四边形，根据有一个角是90°的平行四边形是矩形即可证明以A、C、D、B'为顶点的四边形是矩形；（2）设B'C与AD交于点E，根据矩形的性质可得AE=DE，由平行四边形的性质可得S△ACD=S平行四边形ABCD，根据等底等高的三角形面积相等可得S△AEC=S△ACD，即可求出阴影部分面积.

(1)连接B'D.

∵在ABCD中，AB=CD，AB∥CD，△ABC沿对角线AC折叠，

∴AB'=CD，∠BAC=∠B'AC.

又∵AC⊥AB，

∴∠BAC=∠B'AC=90°，

∴B、A、B'在一条直线上，

∴AB'∥CD，

∴四边形ACDB'为平行四边形，

∵∠B'AC=90°，

∴以A、C、D、B'为顶点的四边形是矩形.

(2)设B'C与AD交于点E.

∵四边形ABCD是平行四边形，S平行四边形ABCD=12cm，

∴S△ACD=S平行四边形ABCD=×12=6，

∵四边形ACDB'为矩形，

∴AE=DE，

∴S△AEC=S△ACD=×6=3，即阴影部分的面积是3.