Question

【题目】著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB＝50km，A、B到直线X的距离分别为10km和40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运送游客．小民设计了两种方案，图1是方案一的示意图（AP与直线X垂直，垂足为P），P到A、B的距离之和S1＝PA+PB，图2是方案二的示意图（点A关于直线X的对称点是A'，连接BA′交直线X于点P），P到A、B的距离之和S2＝PA+PB

（1）S1＝_____km．S2＝_____km．

（2）PA+PB的最小值为_____km．

（3）拟建的恩施到张家界高速公路与沪渝高速公路垂直，建立如图3所示的直角坐标系，B到直线的距为30km，请你在X旁和P旁各修建一服务区P、Q，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小，（用尺画出点P和点Q的位置）这个最小值为_____km．

Answer 1

【答案】（40+10） （50+50 ）．

【解析】

（1）根据勾股定理分别求得S1、S2的值即可；

（2）在公路上任找一点M，连接MA，MB，MA'，由轴对称知MA＝MA，由三角形的三边关系得出MB+MA＝MB+MA'＞A'B，得出S2＝BA'为最小；

（3）过A作关于x轴的对称点A'，过B作关于y轴的对称点B'，连接A'B'，交x轴于点P，交y轴于点Q，求出A'B'的值即可．在公路上任找一点M，连接MA，MB，MA'，由轴对称知MA＝MA，由三角形三边关系得出MB+MA＝MB+MA'＞A'B，S2＝BA'为最小；即可得出答案．

解：（1）如图1中，过B作BC⊥X于C，AD⊥BC于D，则CP＝AD，

则BC＝40km，

又∵AP＝10，

∴BD＝BC﹣CD＝40﹣10＝30km．

在△ABD中，AD＝＝40（km），

∴CP＝40km，

在Rt△PBC中，BP＝＝＝40（km），

∴S1＝40+10（km）．

如图2﹣1中，过B作BC⊥AA′垂足为C，

则A′C＝50km，

又∵BC＝40km，

∴BA'＝＝10（km），

由轴对称知：PA＝PA'，

∴S2＝BA'＝10km，

故答案为：（40+10），10；

2）在公路上任找一点M，连接MA，MB，MA'，如图2﹣2所示：

由轴对称知MA＝MA'，

∴MB+MA＝MB+MA'＞A'B，

∴S2＝BA'＝10km为最小，

即PA+PB的最小值为10km；

故答案为：10；

（3）过A作关于x轴的对称点A'，过B作关y轴的对称点B'，连接A'B'，交x轴于点P，交y轴于点Q，如图3所示：

则P，Q即为所求．

过A'、B'分别作x轴、y轴的平行线交于点G，

B′G＝40+10＝50km，A′G＝30+30+40＝100km，

A'B'＝＝50（km），

∴AB+AP+BQ+QP＝AB+A′P+PQ+B′Q＝50+50km，

∴所求四边形的周长为（50+50）km；

故答案为：（50+50）．